Réponse :
1) b) I milieu de (AB) ⇒ I(2/2 ; 3/2) ⇔ I(1 ; 3/2)
c) soit J(x ; y) tel que vec(BJ) = 2/3vec(BC)
vec(BJ) = (x - 2 ; y - 3)
vec(BC) = (0 ; - 6) ⇒ 2/3vec(BC) = (0 ; - 4)
x - 2 = 0 ⇔ x = 2 et y - 3 = - 4 ⇔ y = - 1
donc les coordonnées de J(2 ; - 1)
d) K(x ; y) symétrique de A/C ⇔ vec(AC) = vec(⇔CK)
vec(AC) = (2 ; - 3)
vec(CK) = (x - 2 ; y + 3)
x - 2 = 2 ⇔ x = 4 et y + 3 = - 3 ⇔ y = - 6
les coordonnées de K(4 ; - 6)
e) vec(IJ) = (2 - 1 ; - 1 - 3/2) = (1 ; - 5/2) vérifiée
vec(IK) = (4 - 1 ; - 6 - 3/2) = (3 : - 15/2)
f) en déduire l'alignement de I, J et K
on a vec(IK) = (3 ; - 15/2) = 3(1 ; - 5/2) = 3 x vec(IJ)
donc les vecteurs IJ et IK sont colinéaires on en déduits donc que les points I, J et K sont alignés
2) b) exprimer le vecteur IJ en fonction des vecteurs AB et BC
D'après la relation de Chasles
vec(IJ) = vec(IB) + vec(BJ) I milieu de (AB)
= 1/2vec(AB) + 2/3vec(BC)
donc vec(IJ) = 1/2vec(AB) + 2/3vec(BC)
c) montrer que vec(IK) = 1/2vec(AB) + vec(BC) + vec(AC)
D'après la relation de Chasles
vec(IK) = vec(IJ) + vec(JK)
= vec(IJ) + vec(JC) + vec(CK) (K symétrique de A.C)
= 1/2vec(AB) + 2/3vec(BC) + 1/3vec(BC) + vec(AC)
= 1/2vec(AB) + vec(BC) + vec(AC)
donc vec(IK) = 1/2vec(AB) + vec(BC) + vec(AC)
en déduire que vec(IK) = 3/2vec(AB) + 2vec(BC)
vec(IK) = 1/2vec(AB) + vec(BC) + vec(AC)
vec(IK) = 1/2vec(AB) + vec(BC) + vec(AB) + vec(BC) R. Chasles
= 3/2vec(AB) + 2vec(BC)
4) conclure que les points I, J et K sont alignés
vec(IK) = 3/2vec(AB) + 2vec(BC) = 3(1/2vec(AB) + 2/3vec(BC)) = 3xvec(IJ)
donc les vecteurs IJ et IK sont colinéaires donc les points I,J et K sont alignés
Explications étape par étape :
