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Réponse :
Soit ABC un triangle. On appelle O le point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle. Ce point est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
On note K le milieu de [BC]. On appelle M le point défini par : OM=OA+OB+ OC.
1. Montrer que OB + OC = 2 OK.
d'après la relation de Chasles
vec(OB) + vec(OC) = vec(OK) + vec(KB) + vec(OK) + vec(KC)
= 2 x vec(OK) car vec(KB) + vec(KC) = 0 K milieu de (BC)
on obtient vec(OB) + vec(OC) = 2vec(OK)
2. Montrer que AM = OB+OC.
d'après la relation de Chasles
vec(AM) = vec(AO) + vec(OM)
= vec(AO) + vec(OA) + vec(OB) + vec(OC)
= - vec(AO) + vec(OA) + vec(OB) + vec(OC)
= vec(OB) + vec(OC)
donc vec(AM) = vec(OB) + vec(OC)
3. Que peut-on en déduire pour les vecteurs AM et OK?
puisque vec(OB) + vec(OC) = 2vec(OK) et vec(AM) = vec(OB) + vec(OC)
donc vec(AM) = 2vec(OK) on en déduit donc que les vecteurs AM et OK sont colinéaires
4. Montrer que la droite (AM) est la hauteur du triangle issue de A.
puisque les vecteurs AM et OK sont colinéaires donc les droites (AM) et (OK) sont parallèles et puisque (OK) est perpendiculaire car OK étant la médiatrice de (BC) donc la droite (AM) est perpendiculaire à (BC) donc (AM) est la hauteur du triangle ABC issue de A
5. On admet que par symétrie, la droite (BM) est la hauteur du triangle issue de B, et la droite (CM) est la hauteur issue de C. Quel point remarquable du triangle ABC est le point M?
le point remarquable M du triangle ABC qui est le point de concours des hauteurs donc M est l'orthocentre
Explications étape par étape :