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Bonjour, voici la réponse à votre exercice :
Soient [tex]a[/tex],[tex]b[/tex],[tex]c[/tex] [tex]\in \mathbb{R}^+[/tex].
On a :
[tex]\frac{a + b + c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} }[/tex]
⇔ [tex]\frac{1}{3}(a + b + c) \leq \frac{1}{\sqrt{3} }\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}[/tex]
⇔ [tex]a + b + c \leq \sqrt{3}\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}[/tex] # On multiplie par 3 de chaque côté, et on rappelle que [tex]\frac{3}{\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3}\sqrt{3} }{\sqrt{3} } = \sqrt{3}[/tex]
⇔ [tex]\frac{a + b + c}{\sqrt{3} } \leq \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}[/tex]
⇔ [tex]\frac{(a + b + c)^2}{3 } \leq a^2 + b^2 + c^2[/tex]
⇔ [tex]\frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac}{3} - (a^2 + b^2 + c^2) \leq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) - 3(a^2 + b^2 + c^2)}{3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{-2a^2 - 2b^2 - 2c^2 + 2(ab + bc + ac)}{3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex]\frac{- 2(a^2 + b^2 + c^2) + 2(ab + bc + ac)}{3} \leq 0[/tex]
⇔ [tex]- (a^2 + b^2 + c^2) + (ab + bc + ac) \leq 0[/tex]
⇔ [tex]ab + bc + ac \leq a^2 + b^2 + c^2[/tex]
⇔ [tex]0 \leq a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac[/tex]
Puis on sait que :
[tex]a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca= \frac{1}{2} (2a^2+2b^2+2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca)\\=\frac{1}{2} (a^2 - 2ab+b^2+b^2 - 2bc+c^2+c^2 - 2ca+a^2)\\=\frac{1}{2} [(a- b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2][/tex]
Et le carré d'un nombre est toujours supérieur ou égal à 0, d'où :
[tex]\frac{1}{2} [(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 0[/tex]
Et enfin, on a montré que :
[tex]\frac{a + b + c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3} }[/tex]
En espérant t'avoir aidé au maximum !
