Réponse :
Bonjour je vais t'aider à résoudre cet exercice.
Explications étape par étape
1) Soit la fonction f sur ]0;+∞[ dont l'expression est:
f(x)=x+1/x
Si on remplace x par x+h alors on a:
f(x+h)=(x+h)+1/(x+h)
On calcule maintenant la différence demandée:
[tex]\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)+\frac{1}{x+h}-x-\frac{1}{x}}{h}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x(x+h)^2+x-x^2(x+h)-x-h}{h}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x(x^2+2hx+h^2)+x-x^3-hx^2-x-h}{hx(x+h)}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^3+2hx^2+xh^2+x-x^3-hx^2-x-h}{hx(x+h)}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{hx^2+xh^2-h}{hx(x+h)}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(x^2+hx-1)}{hx(x+h)}\\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{x^2+hx-1}{x(x+h)}[/tex]
2) D'après normalement ton cours tu dois avoir:
[tex]\lim_{h \to \0} 0 \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)\\ \lim_{h \to 0} \frac{x^2+hx-1}{x(x+h))} =f'(x)\\ f'(x)=\frac{x^2-1}{x^2}\\f'(x)=1-\frac{1}{x^2}[/tex]
