Réponse :
Question 1. Calculatrice.
Question 2a.
[tex]\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\\\\ = \dfrac{ln(u_{n+1} )+1}{ln(u_n)+1} \\\\= \dfrac{ln(\sqrt{\dfrac{u_n}{e} } )+1}{ln(u_n)+1} \\\\= \dfrac{\frac{1}{2} ln(\dfrac{u_n}{e})+1}{ln(u_n)+1}\\\\=\dfrac{\frac{1}{2} (ln(u_n)-ln(e))+1}{ln(u_n)+1}\\\\=\dfrac{\frac{1}{2} (ln(u_n)-1)+1}{ln(u_n)+1}\\\\=\dfrac{\frac{1}{2} ln(u_n)+\frac{1}{2} }{ln(u_n)+1}\\\\=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{ln(u_n)+1 }{ln(u_n)+1}\\\\=\dfrac{1}{2}[/tex]
(v_n) est bien géométrique de raison 1/2
Question 2b.
[tex]v_n=v_0+q^n[/tex] avec [tex]v_0=ln(u_0)+1=ln(e)+1=1+1=2[/tex] et [tex]q=\dfrac{1 }{2}[/tex].
Donc [tex]v_n=2 \times (\dfrac{1 }{2})^n = (\dfrac{1 }{2})^{n-1}[/tex]
Ainsi,
[tex]ln(u_n)+1=(\dfrac{1 }{2})^{n-1}\\ln(u_n)=(\dfrac{1 }{2})^{n-1}-1\\u_n=e^{(\frac{1}{2})^{n-1} } \times e^{-1}\\[/tex]
Question 3b.
Comme -1<1/2<1, alors :
[tex]\lim_{n \to \infty} (\dfrac{1}{2} )^{n-1}=0\\\lim_{n \to \infty} (\dfrac{1}{2} )^{n-1}-1=-1\\\lim_{n \to \infty} e^{(\dfrac{1}{2} )^{n-1}-1}=e^{-1}\\ \lim_{n \to \infty} u_n = \dfrac{1}{e}[/tex]
Bonne soirée !
