Réponse : Bonjour,
1) D'après la formule d'intégration par parties:
[tex]\displaystyle I_{1}=\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x^{2}} \; dx=[\ln x \times -\frac{1}{x}]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \times -\frac{1}{x} \; dx\\=-\frac{\ln e}{e}+\frac{\ln 1}{1}+\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} \; dx=-\frac{1}{e}+\left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{e}=-\frac{1}{e}-\frac{1}{e}+\frac{1}{1}=\frac{-1-1}{e}+1\\=\frac{-2}{e}+1=\frac{-2+e}{e}[/tex]
2) On a:
[tex]\displaystyle I_{n+1}=\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{n+1}}{x^{2}} \; dx=\left[-\frac{1}{x} \times (\ln x)^{n+1}\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e} -\frac{1}{x} \times \frac{1}{x}(n+1)(\ln x)^{n} \; dx\\=-\frac{1}{e}(\ln e)^{n+1}+\frac{1}{1^{2}}(\ln 1)^{n+1}+\int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}}(n+1)(\ln x)^{n} \; dx\\=-\frac{1}{e}+(n+1)\int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}} \; dx=-\frac{1}{e}+(n+1)I_{n}[/tex]
3) Initialisation: Pour n=1:
[tex]\displaystyle \frac{I_{1}}{1!}=\frac{-2+e}{e}\\ 1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}\right)=1-\frac{2}{e}=\frac{-2+e}{e}\\ \Leftrightarrow \frac{I_{1}}{1!}=1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}\right)[/tex]
La propriété est vérifiée à l'ordre n=1.
Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, et montrons là à l'ordre n+1.
Par l'hypothèse de récurrence, on a:
[tex]\displaystyle \frac{I_{n}}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}\right)[/tex]
D'après la question précédente, on a:
[tex]\displaystyle I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_{n}[/tex]
Donc:
[tex]\displaystyle \frac{I_{n+1}}{(n+1)!}=\frac{-\frac{1}{e}+(n+1)I_{n}}{(n+1)!}=-\frac{1}{e(n+1)!}+\frac{I_{n}}{n!}\\=-\frac{1}{e(n+1)!}+1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}\right)\\=1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{(n+1)!}\right)[/tex]
La propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc pour tout n strictement positif:
[tex]\displaystyle \frac{I_{n}}{n!}=1-\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}\right)[/tex]
4) La fonction [tex]\ln x[/tex] est croissante sur l'intervalle [1;e], donc:
[tex]\ln 1 \leq \ln x \leq \ln e\\0 \leq \ln x \leq 1[/tex]
Et comme [tex]\ln x \geq 0[/tex], sur l'intervalle [1;e], on a que:
[tex]\displaystyle \int_{1}^{e} \frac{0^{n}}{x^{2}} \; dx \leq \int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}} \; dx \leq \int_{1}^{e} \frac{1^{n}}{x^{2}} \; dx\\\displaystyle 0 \leq \int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}} \; dx \leq \int_{1}^{e} \frac{1}{x^{2}} \; dx\\ 0 \leq \int_{1}^{e} \frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}} \; dx \leq \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{e}=-\frac{1}{e}+1=\frac{e-1}{e} \leq e-1 \; car \; e > 1[/tex]
Donc pour tout n strictement positif, [tex]I_{n} \in [0;e-1][/tex].