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On applique des techniques de calcul vectoriel dans l'espace P4 des fonctions polynomiales R -> R de degré 4. Un polynome P qui apartient a P4 sera note P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4
(on reserve donc la lettre t pour la variable reelle de nos polynomes).
Soit E = f(P apartient a P4; P(1) = 0 et P(1) = 0) et soit F = f(P apartient a P4; P'(1) = 0 et P'(-1) = 0).
1-a) Montrer que P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4 est dans E si et seulement si (a; b; c; d; e) est solution d'un systeme lineaire qu'on precisera.
1-b) Resoudre ce systeme et donner une base U de l'espace E.
2-a) Comme ci-dessus, montrer que P(t) = a + bt + ct^2 + dt^3 + et^4
est dans F si et seulement si (a; b; c; d; e) est solution d'un systeme lineaire qu'on precisera.
2-b) Resoudre ce systeme et donner une base V de l'espace F.

 

1.a)

Pour P(1)=0, a+b+c+d+e=0
Pour P(-1)=0, a-b+c-d+e=0
==
b=-d
a=-c-e

2.a) 
P'(t)=1+b+2tc+3dt^2+4et^3
Pour P'(1)=0, 1+b+2c+3d+4e=0
Pour P'(-1)=0, 1+b-2c+3d-4e=0
==
c = -2 e, 
d = -b/3-1/3

Sagot :

on a effectivement b+d=0 et a+c=e=0

on peut voir le polynome comme (t-1)(t+1)(at²+bt+c) ce qui méne à 

P(t)=a(t^4-t²)+b(t^3-t)+c(t²-1) et à la base u1(t)=t^4-t² u2(t)=t^3-t u3(t)=t²-1

(dimension 3 car 5 parametres et 2 relations linéaires les liant entre eux)

 

P' ne commence pas par 1 !!!!!

P'(t)=b+2ct+3dt²+4et^3

donc  on a b+2c+3d+4e=0 et b-2c+3d-4e=0

soit b+3d=0 et 4c+8e=0 

on peut voir P' comme (t-1)(t+1)(mt+p) ce qui donne mt^3+pt²-mt-p

et P par intégration est (m/4)t^4+(p/3)t^3-(m/2)t²-pt+K

base v1(t)=t^4/2-t² v2(t)=t^3/3-t v3(t)=1

 

 

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