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Exercice 1:
On s'intéresse à la propagation d'une maladie dans une ville de 130 000 habitants sur une période de 40 jours. La fonction f définie sur l'intervalle [0; 40] par :
f(t) = -30t² + 1 200t + 4 000
modélise le nombre de personnes touchées par la maladie au bout de t jours de suivi de la propagation.
1. Déterminer le nombre de personnes touchées par la maladie au début de l'étude.
début études : t = 0
t(0) = 4000
2. Le conseil municipal a décidé de fermer les crèches de la ville lorsque plus de 10 % de la population est touchée par la maladie. Déterminer le nombre de jours durant lesquels les crèches ont été fermées.
130000x10% = 13000 personnes touchées
-30t²+1200t+4000=13000
-30t²+1200t-9000=0
-3t²+120t-900=0
-t²+40t-300=0
Δ=40²-4*(-1)*(-300) = 400=20²
t'=(-40+20)/(-2) = 10
t''=(-40-60)/(-2) = 50
fermée 40 jours
3.a. Déterminer la forme canonique de la fonction f.
= -30t² + 1 200t + 4 000 = -30(t²-40t) + 4000 = -30 [(t-20)² - 20²] + 4000
= -30(t-20)² + 16000
b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.
t 0 20 40
f(t) C f(20) D
c. Au bout de combien de jours de suivi de la propagation le nombre de personnes touchées par la maladie est-il maximal ? Combien y a-t-il alors de personnes touchées ?
f(t) = = -30(t-20)² + 16000
nbre max = 16000 en t = 20j
