Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
Démonstration directe:
[tex]\left\{\begin {array}{ccc}v_0&=&2\\\\v_{n+1}&=&\sqrt{4+v_n^2} \\\end {array} \right.\\\\\\\left\{\begin {array}{ccc}v_0^2&=&4\\\\v_{n+1}^2&=&{4+v_n^2 \\\end {array} \right.\\\\\\La \ suite\ (v_n)\ est\ donc\ arithm\' etique\ de\ raison\ 4\ et\ de\ premier\ terme\ 4.\\\\v_n^2=4+4*n=4(1+n)\\\\v_n=\sqrt{4(1+n)} \\\\\boxed{v_n=2\sqrt{n+1} }\\[/tex]
Démonstration par récurrence:
Initialisation:
[tex]v_0=2=2\sqrt{0+1} =2*1\\\\[/tex]
Hérédité:
[tex]v_n=2\sqrt{n+1} \ est\ vrai\\\\v_{n+1}=\sqrt{4+v_n^2} =\sqrt{4+4*(n+1)} =2\sqrt{(n+1)+1} \ est\ vrai.\\[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{n \to \infty} v_n =\lim_{n \to \infty} (2+\sqrt{n+1}) =+\infty[/tex]
