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Bonjour pouvez-vous m’aider à faire cette exercice ?

Bonjour Pouvezvous Maider À Faire Cette Exercice class=

Sagot :

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

f(x)=e^-x  +2x-1   Df=R

1)Limites

si x tend vers -oo, e^-x tend vers +oo et 2x tend vers -oo  par les croissances comparées f(x) tend vers +oo

si x tend vers +oo, e^-x tend vers 0, et 2x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo

2)   f(ln(1/2))or ln (1/2)=ln1-ln2=-ln2

f(-ln2)=e^(ln2)-2ln2-1= 1-2ln2 soit environ -0,4 (car e^ln2=2).

3) Dérivée f'(x)=-e^-x  +2=-1/e^x+2=(2e^x  -1)/e^x

f'(x)=0 si 2e^x=1    donc si e^x=1/2    si x=ln(1/2)=-ln2

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                               -ln2                          +oo

f'(x)                  -                   0           +

f(x) +oo      décroît             -0,4        croît         +oo

4) Equation de la tangente (T)au point d'abscisse x=0

y=f'(0)(x-0)+f(0)=2(x-2)+0=2x        y=2x

5)  dérivée seconde f"(x)=-(-e^-x)=e^-x

cette dérivée seconde est toujours >0 donc la courbe représentant f(x) est convexe. La courbe est au dessus de la tangente sauf au point d'abscisse x=0

6) D'après le TVI on voit que f(x)=0 a deux solutions la première  sur l'intervalle ]-oo; -ln2[ et la seconde  sur l'intervalle ]-ln2+oo[ l

la seconde est  b=0  solution évidente f(0)=e^0 + 2*0 -1=0 (vue avec la tangente)

la première  "a" est comprise entre -1 et -2 car f(-1)<0   et f(-2)>0

Détermine la valeur de "a"  à 10^-2 près avec ta calculette.

7)signes de f(x)

f(x) est >0 sur ]-oo; a[U]0; +oo[et f(x)<0 sur ]a; 0[