Réponse :
f(x) = (x + 5)/(x - 3)
1) montrer que f est définie sur R \ {3}
pour que f existe il faut que x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3
donc f est définie sur R \ {3}
2) montrer que f(x) = 1 + [8/(x - 3)]
f(x) = (x + 5)/(x - 3)
= (x + 5 + 3 - 3)/(x - 3)
= (x - 3)/(x - 3) + 8/(x - 3)
= 1 + 8/(x - 3)
3) étudier le sens de variation de f sur ]- ∞ : 3[ puis sur ]3 ; + ∞[
f(x) = 1 + [8/(x - 3)]
f est fonction somme dérivable sur R \{3}; 1 est dérivable et le quotient est dérivable sur R \ {3} donc la somme est dérivable sur R \ {3}
sa dérivée f ' est : f '(x) = 0 + ( - 8/(x - 3)² = - 8/(x - 3)²
donc f '(x) = - 8/(x - 3)² or (x - 3)² > 0 et - 8 < 0 donc - 8/(x - 3)² < 0
Donc f '(x) < 0 sur R \ {3} ou ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[ donc f est décroissante sur ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[
4) dresser le tableau de variation de f sur ]- ∞ ; 3[U]3 ; + ∞[
x - ∞ 3 + ∞
f '(x) - || -
f(x) 1 →→→→→→→→→ - ∞ || + ∞→→→→→→→→ 1
décroissante décroissante
Explications étape par étape :