Bonjour
On considère la fonction f qui à x associe
[tex] \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } [/tex]
Domaine de définition :
x/x-2 > 0 et x - 2 ≠ 0
x > 0 et x-2 > 0 ou x < 0 et x -2 < 0 et x ≠ 2
x > 0 et x > 2 ou x<0 et x < 2
x > 2 ou x < 2
Donc Df = ] -oo ; 2 [ U ] 2 ; +oo [
Sens de variation :
f est dérivable si √x/x-2 ≠ 0
x / (x-2) ≠ 0
x ≠ 0 car x ≠ 2
Donc f est dérivable sur Df' = ] -oo ; 0 [ U ] 0 ; 2 [ U ] 2 ; +oo [
f'(x) =
[tex] \frac{ \frac{x - 2 - x}{(x - 2) {}^{2} } }{2 \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } } = \frac{ - 1}{(x - 2) {}^{2} \sqrt{ \frac{x}{x - 2} } } [/tex]
Or comme x ≠ 2, (x-2)² > 0
√ x / x-2 > 0 car x ≠ 0
-1 < 0
donc pour tout x € Df', f'(x) < 0
f est strictement décroissante
Ensuite tu fais un tableau de variations et tu regardes si pour chaque image f(x) > 1, il existe un antécédent x > 2
