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bonjour aidez moi a cette exercice le plus tôt possible

Un garçon lance une pierre horizontalement à une vitesse ||v0|| = 10 m.s"1 d'un pont à 20 m au dessus
d'un fleuve. On néglige la résistance de l'air et on considère que la pierre est ponctuelle.
1) Montrer que l'accélération de la pierre est g.
2) On fait l'étude du mouvement relativement à un repère orthonormé (O,î,j) tel que O coïncide avec le
point de départ de la pierre, i est horizontal de même sens que v0 et j est dirigé vers le bas. Un
point M de la trajectoire est repéré par ses coordonnées (x(t), y(t)).
a) Établir les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement.
b) En déduire l'équation cartésienne de la trajectoire.
c) Quel temps faut-il pour que la pierre tombe dans l'eau.
d) Quelle est alors sa vitesse ?
e) A quelle distance de O tombe-t-elle ?

Sagot :

Legrandu48

Réponse :

Explications :

Bonjour,

Système étudié : pierre, centre de gravité G confondu avec point M

Référentiel : terrestre considéré galiléen

V a pour coordonnées dans le repère (O; Oi, Oj) : V i = V et V j = 0

Résistance de l'air négligée donc frottements de l'air et poussée d'Archimède négligées (balle en chute libre) donc : ∑ Forces = P pierre

1) Montrer que l'accélération de la pierre est g.

Seconde loi de Newton :

∑ Forces = P pierre = m * g = m * aG donc  aG = g

2a) Établir les équations horaires x(t) et y(t) du mouvement.

Par projection sur les 2 axes du repère (O; Oi, Oj), les 2 équations différentielles du mouvement sont :

aG i = 0 et aG j = g

par intégration , on a :

VG i = K1

VG j = g * t + K2

Où  K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

t = 0, VG i(0) = V donc K1 = Vo

t = 0, VG j(0) = 0 donc K2 = 0

soit : VG i = Vo et VG j = g * t

par intégration :

x(t) = Vo * t + K3

y(t) = 1/2 * g * t² + K4

Où  K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :

a t = 0, x(0) = 0 donc K3 = 0

a t = 0, y(0) = 0 donc K4 = 0

On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :

x(t) = V * t et y(t) = 1/2 * g * t²

Le mouvement de la balle est donc composé d'un :

- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V sur (Oi)

- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale nulle sur (Oj).

2b) Équation de la trajectoire : éliminons le temps :

X = V * t  donc t = X / V

reportons ce temps dans Y  soit :  

Y  = g/2 * (X / V)²

Equation de la trajectoire :

Y  =  X² * g / (2 * V² )

2c) la durée de la trajectoire dans l’air :

soit y(t) = 1/2 * g * t²  et y(t) = 20 = point d’impact = hauteur du pont

donc 20 = 1/2 * g * t²  soit t² = 2 * 20 / g, prenons g = 10m/s2

et donc t = √(40/10) = 2 s

2d) Quelle est alors sa vitesse ?

V i = 10 et V j = g * t = 10 * 2 = 20

donc V pierre = √(10² + 20²) = √500 = 22.36 m/s

2e) A quelle distance de O tombe-t-elle ?

la distance cherchée correspond au déplacement horizontal séparant le point de départ du point d’impact dans l'eau :  

soit x(t) = V * t avec V = 10 m/s et t = 2 s

donc  distance = 10 * 2 = 20 m

Vérifiez mes calculs et mes paramètres !!

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