Réponse :
1/ On a :
* [tex]X(\Omega)= [\![0;52]\!][/tex]
* On dispose de 52 personnes tirés au hasard en France.
* On a une probabilité de 0.09 d'avoir une personne souffrant d'une déficience auditive
* On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de déficients auditifs.
Donc on a une épreuve binomiale de Bernouilli :
[tex]X\hookrightarrow B(52;0.09)[/tex]
2/ En utilisant la définition d'une loi binomiale :
[tex]P(X=4)=\binom{52}{4}0.09^{4} (1-0.09)^{52-4}\\=\binom{52}{4}(0.09)^{4} (0.91)^{48}[/tex]
[tex]=\frac{71049069*91^{48}}{4000000*100^{48}} \approx0.192081[/tex]
3/ En Tle vous pouvez vous servir de la calculatrice pour le calculer, mais je préfère montrer comment le faire sans :
[tex]P(X\leq 3)= \displaystyle \sum_{k=0}^{3} P(X=k)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)[/tex]
Remarque : On peut aussi utiliser la formule du binome de Newton
[tex]=\binom{52}{0}(0.09)^{0} (0.91)^{52}+\binom{52}{1}(0.09)^{1} (0.91)^{51}+\binom{52}{2}(0.09)^{2} (0.91)^{50}[/tex]
[tex]+\binom{52}{3}(0.09)^{3} (0.91)^{49}[/tex]
[tex]\approx 0.07+0.038+0.096+0.159=0.359[/tex]
4/ En jouant avec les formules on a :
[tex]P(X > 6)=P(X\geq 7)= 1-P(X\leq 6)[/tex]
[tex]P(X > 6 ) = 1- \displaystyle \sum_{k=0}^{6}P(X=k) = 1- \displaystyle \sum_{k=0}^{3}P(X=k) -\displaystyle \sum_{k=4}^{6}P(X=k)[/tex]
[tex]=1-P(X\leq 3)-\displaystyle \sum_{k=4}^{6}P(X=k)[/tex]
[tex]=1-0.359 -P(X=4)-P(X=5)-P(X=6)[/tex]
[tex]0.641 -\binom{52}{4}(0.09)^{4} (0.91)^{48} -\binom{52}{5}(0.09)^{5} (0.91)^{47}- \binom{52}{6}(0.09)^{4} (0.91)^{46}[/tex]
[tex]=0.641-0.192-0.182-0.141[/tex]
[tex]= 0.122[/tex]
NB : Veuillez vérifier les calculs car tout à été fait de façon approximatif merci.
