bonjour
forme trigonométrique d'un nombre complexe Z
z = |z| (cosθ + i sinθ)
|z| : module de z
θ : un argument de z (angle orienté à 2π près)
voir image
si z = a + ib
|z| = √(a² + b²)
a = |z| cosθ) et b = |z| sinθ
a)
z₁ = -1/2 + i (√3/2)
module de z₁ :
(-1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 4/4 = 1
|z₁| = √1 = 1
argument de z₁
puisque |z₁| = 1
z₁ = cosθ + i sinθ
on cherche θ tel que cosθ = -1/2 et sinθ = √3/2
θ = 2π/3
(il faut connaître les valeurs remarquables de sin et cos et utiliser le
cercle trigonométrique)
z₁ = 1 ( cos (2π/3) + i sin (2π/3) )
b)
z₂ = √3 + i
module de z₂
(√3)² + 1² = 3 + 1 = 4
|z₂| = √4 = 2
argument de z₂
z₂ = (√3 + 1 i)
z₂ / 2 = (√3 + 1 i) / 2
= √3/2 + 1 /2
cosθ = √3/2 et sinθ = 1/2
θ = π/6
z₂ = 2(cos π/6 + i sin (π/6) )
en résumé :
z = a + ib
• on calcule le module de z : |z| = √(a² + b²)
• on divise les 2 membres par |z|
z / |z| = a/|z| + i b/|z|
• on cherche θ tel que
cos θ = a/|z| et sinθ = b/|z|
on donne en général -π < θ < π
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module √2 et argument -3π /4
" 1 " π /4
