Réponse :
1) [tex]f(0) = 2[/tex]
[tex]f(2) = 0[/tex]
2) La tangente à Cf en 1 est une droite horizontale, son coefficient directeur est donc nulle. Ainsi [tex]f'(1) = 0[/tex]
3) L'ordonnée à l'origine de la fonction dont la courbe est (CA) est 2 et son coefficient directeur est 1, son expression algébrique est donc [tex]x + 2[/tex].
4) Si l'on trace une droite d'équation [tex]y = 1[/tex], celle-ci coupe f en 2 points entre -10 et 2, ainsi [tex]f(x) = 1[/tex] possède 2 solutions (dans [tex][-10;2][/tex]).
5) f est croissante sur [tex][-10;1][/tex] puis décroissante sur [tex][1;2][/tex]
Partie B)
1) [tex]f(0) = (2 - 0)e^0 = (2)1 = 2[/tex] et [tex]f(2) = (2 - 2)e^2 = 0e^2 = 0[/tex]
a) On a une fonction de forme [tex]f \times g[/tex] avec [tex]f = 2-x[/tex] et [tex]g = e^x[/tex].
On sait que [tex](f \times g)' = f'g + fg'[/tex]. Ici [tex]f' = -1[/tex] et [tex]g' = e^x[/tex] Donc on a:
[tex](f \times g)' \iff -1e^x + (2-x)e^x \iff e^x(-1 + 2 -x) \iff e^x(1-x)[/tex]
La dérivée de notre fonction f initiale est donc : [tex]f'(x) = e^x(x-1)[/tex]
b) [tex]f'(1) = e^1(1-1) = e0 = 0[/tex]
2) Appelons [tex]g(x)[/tex] la tangente à cette courbe, son coefficient directeur est [tex]f'(0) =e^0(1-0) = 1 \times 1 = 1[/tex] et son ordonnée à l'origine [tex]f(0) = (2-0)e^0 = 2 \times 1 = 2[/tex] donc : [tex]g(x) = f'(0)x + f(0) = 1x + 2 = x + 2[/tex]
3) Cherchons le signe de [tex]f'(x)[/tex]:
[tex]e^x[/tex] ne peut être que strictement positif sur [tex][-10;2][/tex]
[tex](1-x)[/tex] a pour tableau de signe :
x -10 1 2
[tex](1 - x)[/tex] + 0 -
Ainsi le tableau de signe de [tex]f'(x)[/tex] est:
x -10 1 2
[tex]e^x[/tex] + + +
[tex](1-x)[/tex] + 0 -
[tex]f'(x)[/tex] + 0 -
La dérivée de f est positive jusqu'à 1 où elle s'annule puis négative jusqu'à 2. Ainsi la fonction f est croissante sur [tex][-10;1][/tex] puis décroissante sur [tex][1;2][/tex]
