Réponse : voir explication
Explications étape par étape :
1)
En effet, dans un ensemble Z/13Z : 5 congru à 5 ; 5² congru à 12 ;
[tex]5^{3}[/tex] congru à 8 ; [tex]5^{4}[/tex] congru à 40 donc à 1
Le cardinal des puissances de 5 dans Z/13Z est 4 donc :
si n = 1 + 4k alors : [tex]5^{n}[/tex] est congru à 5
si n = 2 + 4k alors : [tex]5^{n}[/tex] est congru à 12
si n = 3 + 4k alors : [tex]5^{n}[/tex] est congru à 8
si n = 4 + 4k alors : [tex]5^{n}[/tex] est congru à 1
2) Dans Z/13Z : 2007 est congru à 5 et 2007 = 4x501 + 3
donc : [tex]2007^{2007}[/tex] est congru à 8
donc : [tex]2007^{2007} - 8[/tex] est congru à 0 et divisible dans R par 13.
3) Dans Z/13Z : 2020 est congru à 5 car : 2020 - 2007 = 13
2020 = 4 x 504 + 4 donc : [tex]2020^{2020}[/tex] est congru à 1
Le reste de la division est donc 1.
4) Dans Z/13Z : 31 est congru à 5 et 18 est congru à 5.
[tex]5^{4n + 1} + 5^{4n-1}[/tex] est congru à 5 + 8 = 13 donc congru à 0.
Cette somme est bien divisible par 13 pour toute valeur de k.
