Bonjour,
Si une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b], alors sa densité de probabilité f est constante (qu'on note k) et elle vérifie :
P(X ∈ [a;b]) = [tex]\int\limits^a_b {k} \, dx[/tex] = 1 ⇔ k (b-a) = 1 ⇔ k = 1/(b-a)
La densité de probabilité d'une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [a;b] est donc f(x) = 1/(b-a)
P(X ∈ [c;d]) = [tex]\int\limits^d_c {1/(b-a)} \, dx[/tex] = (d-c) / (b-a)
E(X) = [tex]\int\limits^b_a {x.f(x)} \, dx[/tex] = [tex]\int\limits^b_a {x} \, dx[/tex] / (b-a) = (b² - a²) / (2 (b-a))
E(X) = (a+b)/2
J'ai inclus la démonstration. Il est important de la connaitre mais vous pouvez appliquer les formules directement.
a) f(x) = 1/(2-(-2)) = 1/4
P(X ≤ 1) = 3/4
P(X ≥ 1/2) = (2 - 1/2) * 1/4 = 3/8
E(X) = 0
b) f(x) = 1/(2-0) = 1/2
P(X ≤ 1) = 1/2
P(X ≥ 1/2) = (1 - 1/2) * 1/2 = 1/4
E(X) = 1/2
c) f(x) = 1/1,5 = 2/3
P(X ≤ 1) = 1/2 * 2/3 = 1/3
P(X ≥ 1/2) = (2- 1/2) * 2/3 = 1
Heureusement car [c;d] = [a;b] dans ce cas :-)
La probabilité de l'univers est = 1
E(X) = 5/4
