Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
P(t)=75t e^-t
1) P(0)=0
P(5)=75*5*e^-5=375/e^5=2,5 mg/l (environ)
2) Dérivée (on te donne la réponse)
P(t) est une fonction produit u*v sa dérivée est donc u'v+v'u
U=75t u'=75
v=e^-t v'-e^-t
P'(t)=75(e^-t)-(e^-t)(75t) on factorise 75e^-t
P'(t)=75(1-t)e^-t
a) le signe de P'(t) dépend du signe de 1-t , P'(t)=0 pour t=1
Tableau de signes de P'(t) et de variations de P(t) sur [0; 5]
t 0 1 5
P'(t) + 0 -
P(t) 0 croît P(1) décroît 2,5
P(t) est maximale pour t=1 P(1)=75/e =27,6mg/litre (environ)
On note P(t) =10 mg/l a deux solutions
* une sur l'intervalle [0;1] quand la pollution est croissante=ordre d'arrêter le pompage dès détection de la pollution
* une sur l'intervalle [1; 5] c'est celle qui nous intéresse car elle permettra la reprise du pompage
on résout 75te^-t=10 par encadrement
P(3)=11,2 mg/l
P(4)=5,5mg/l
4 heures est le temps nécessaire avant de reprendre le pompage.