Zoofast.fr offre une plateforme collaborative pour trouver des réponses. Obtenez des réponses précises et complètes de la part de nos membres de la communauté bien informés et prêts à aider.
bonjour
Le produit de 4 nombres entiers consécutifs plus 1
est un carré parfait
exemples :
1 x 2 x 3 x 4 + 1 = 24 + 1 = 25 = 5²
2 x 3 x 4 x 5 + 1 = 120 + 1 = 121 = 11²
3 x 4 x 5 x 6 + 1 = 18 x 20 + 1 = 360 + 1 = 361 = 19²
cas général
soient 4 entiers consécutifs : n , n+1 ; n +2 ; n +3
il faut montrer que
(1) n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 est un carré
• (n + 1)(n + 2) = n² + 3n + 2
• n(n + 3) = n² + 3n d'où n(n + 3) = (n + 1)(n + 2) - 2
on remplace n(n + 3) par (n + 1)(n + 2) - 2 dans (1)
(n + 1)(n + 2) [(n + 1)(n + 2) - 2] + 1 =
[(n + 1)(n + 2)]² - 2[(n + 1)(n + 2] + 1 =
[(n + 1)(n + 2) - 1]²
c'est le carré de (n + 1)(n +2) - 1
