Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape :
1)
[tex]f(x)=x(1-ln(x))^2\\\\f'(x) =(1-ln(x))^2+x*2(1-ln(x))*(-1)*\dfrac{1}{x} \\= 1+ln^2(x)-2ln(x)-2+2ln(x)\\=ln^2(x)-1\\\\\boxed{f'(x)=(ln(x)-1)(ln(x)+1)}\\[/tex]
2)
[tex]\begin{array}{c|ccccccc}x&0&&\dfrac{1}{e} &&e&&\infty\\y=ln(x)+1&-\infty&-&0&+&+&+&\infty\\y=ln(x)-1&-\infty&-&-&-&0&+&\infty\\y'&\infty&+&0&-&0&+&\infty\\y&0&\nearrow&max&\searrow&min&\nearrow&\nearrow\\\end{array}[/tex]
II)
Soit x=a , g(x)=ln(a), g'(x)=1/x, g'(a)=1/a
Equation de la tangente passant par A(a,ln(a)):
y-ln(a)=1/a*(x-a)
ou y=(x-a)/a+ln(a)
Intersections avec les axes:
x=0 ==> y=ln(a)-1
y=0 ==> x=a(1-ln(a))
[tex]Aire\ du\ triangle =| \dfrac{a(1-ln(a))(ln(a)-1)}{2}|=\dfrac{a(1-ln(a))^2}{2}\\\\\dfrac{dAire}{da} =\dfrac{1}{2} *[ (1-ln(a))^2-2(1-ln(a))]=0\\(1-ln(a))(1-ln(a)-2)=0\\a=e\ ou\ a=\frac{1}{e} \\[/tex]
Comme 0<a<1 ==> a=1/e=0.367879...
