Réponse :
Explications étape par étape :
1-a)A(x)=x*f(x)=4x/(e^x+1)
1-b)A'(x)=[4*(ex+1)-4x*e^x)/(e^x+1)²=4(e^x-xe^x+1)/(e^x+1)²
on note que A'(x)= le4*g(x)/(e^x+1)²
le terme (e^x+1)² étant tjrs >0 le signe de A'(x) dépend du signe de g(x)
Dans la partie précédente on a vu le signe de g(x)
c)Tableau de signes de A'(x) et de variations de A(x)
x 0 a(1,2env) 100
A'(x) + 0 -
A(x) 0 croît A(a) décroît 0+(environ)
d) l'aire du rectangle est max pour x=a (alpha dans l'énoncé)
A(a)=4a/(e^a +1)=............ avec1,2<a<1,3
2) La tangente(T) au point d'abscisse x=a est // à la droite (HS) si ces deux droites ont le même coefficient directeur
2-a)Coef directeur de (T)=f'(a)
f'(x)=-4e^x/(e^x+1)²
donc f'(a)=-4e^a/(e^a+1)²
on a vu dans la partie A que e^a=1/(a-1)
f'(a)=[-4*1/(a-1)] /[(1/(a-1)+1]²=[-4/(a-1)]/[a/(a-1)]²=-4(a-1)/a²
2-b) coef directeur de (HS)
coordonnées des points H ( a; 0) S [(0; 4/(e^a +1)]
coef directeur de (HS) m=(yS-yH)/(xS-xH)=(4/(e^a+1)-0]/(0-a)
m=-4/a(e^a+1)=-4/[a(1/(a-1)+1]=-4/[a*a/(a-1)]=-4(a-1)/a²
On note que f'(a)=m les droites (T) et (HS) sont donc //
