Réponse :
a) calculer les coordonnées de vecteurs AB et DC au lieu de CD
vec(AB) = (3+9 ; 5-7) = (12 ; - 2)
vec(DC) = (8+4 ; -2 -0) = (12 ; - 2)
b) en déduire la nature de ABCD
on a; vec(AB) = vec(DC) donc ABCD est un parallélogramme
2) a) calculer les coordonnées de M et N
M(x ; y) milieu de (AB) donc x = (3-9)/2 = - 6/2 = - 3
y = (5+7)/2 = 12/2 = 6
donc les coordonnées de M sont : (- 3 ; 6)
N(x ; y) tel que vec(DN) = 1/2vec(DC)
vec(DN) = (x + 4 ; y)
vec(DC) = (12 ; - 2) ⇒ 1/2vec(DC) = (6 ; - 1)
x + 4 = 6 ⇔ x = 2 et y = - 1
les coordonnées de N sont : (2 ; - 1)
b) calculer le déterminant des vecteurs MD et BN
vec(MD) = (- 4 + 3 ; 0 - 6) = (- 1 ; - 6)
vec(BN) = (2 - 3 ; - 1 - 5) = (- 1 ; - 6)
dét(vec(MD) ; vec(BN)) = xy' - x'y = - 1*(-6) - (- 1)*(-6) = 6 - 6 = 0
c) calculer la norme de vecteurs BM ; BN et MN
vec(BM) = (- 3 - 3 ; 6 - 5) = (- 6 ; - 1) ⇒ BM² = (-6)² + (- 1)² = 36 + 1 = 37
donc BM = √37
vec(BN) = (- 1 ; - 6) ⇒ BN² = 37 ⇒ BN = √37
vec(MN) = (2+3 ; -1-6) = (5 ; - 7) ⇒ MN² = 5² + (-7)² = 25+49 = 74
MN = √74
d) montrer que MBN est un triangle rectangle
BM² + BN² = 37 + 37 = 74
MN² = 74
on a BM²+BN² = MN² donc d'après la réciproque du th.Pythagore, le triangle MBN est rectangle en B
e) en déduire la nature du quadrilatère MBND
puisque BM = BN et l'angle MBN est droit donc MBND est un carré
Explications étape par étape :
