Réponse :Bonjour
1) [tex]g'(x)=6x^2-6x=6x(x-1)[/tex]
la dérivée g' est positive sur [tex]]-\infty; 0]\cup [1;+\infty[[/tex]
et négative sur [tex][0,1][/tex]donc g est croissante sur [tex]]-\infty; 0]\cup [1;+\infty[[/tex]et
décroissante sur [tex][0,1][/tex]
voir tableau de variation dans fig- ci-jointe
2) on a [tex]g(1)=-2[/tex] et[tex]g(2)=3[/tex] dans l'intervalle [1,2] la fonction [tex]f[/tex] est strictement croissante de plus [tex]0 \in [g(1);g(2)][/tex] donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires: l'équation [tex]g(x)=0[/tex] admet une solution unique dans l'intervalle [tex][1;2][/tex]
pour trouver une solution approchée à 0,1
utilise la calculatrice voir la vidéo explicative suivante: https://www.youtube.com/watch?v=XEZ5D19FpDQ
on trouve [tex]\alpha \approx{1,7}[/tex] (voir le tableau dans l'image jointe. [tex]\alpha[/tex] est entre 1.67 et 1.68)
3) d'après le tableau de variation de g on a [tex]g(x) \leq 0 ~~ pour ~~ x \leq \alpha[/tex]
et [tex]g(x) \geq 0 ~~ pour ~~ x \geq \alpha[/tex]
4) on pose
[tex]u(x)=1-x\\ et ~v(x)=x^3+1[/tex] donc [tex]u'(x)=-1 \\ et v'(x)=3x^2[/tex]
[tex]f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}=\frac{2x^2-3x^2-1}{(x^3+1)^2}=\frac{g(x)}{(x^3+1)^2}[/tex]
f'(x) a le même signe que g(x) donc pour [tex]pour ~x \in [\alpha, +\infty[ ~~ f'(x) \geq 0[/tex]
et [tex]f'(x) \leq 0 ~~pour~~ x \in ]-1, \alpha][/tex]
par conséquent
[tex]f~croissante ~sur [\alpha, +\infty[\\ et\\decroissante ~sur ]-1,\alpha][/tex]
pour réviser les exercices type bac voir le site https:spe-maths.fr
