Réponse :
pour tout entier naturel n ≥ 1 ; Un = (3 n + 1)/(n + 1)
1) montrer que pour entier naturel n ≥ 1, on a :
Un+1 - Un = 2/(n+1)(n + 2)
Un+1 - Un = (3(n+1) + 1)/(n+2)] - (3 n + 1)/(n+1)
= (3 n + 4)(n + 1)/(n+1)(n+2)] - (3 n + 1)(n+2)/(n+1)(n+2)
= [(3 n² + 7 n + 4) - (3 n² + 7 n + 2)]/(n+1)(n+2)
= (3 n² + 7 n + 4 - 3 n² - 7 n - 2)/(n+1)(n+2)
= 2/(n+1)(n+2)
2) en déduire le sens de variation de la suite (Un)
Un+1 - Un = 2/(n+1)(n+2)
n ≥ 1 ⇔ n+ 1 ≥ 2 ≥ 0 donc n + 1 ≥ 0 et n ≥ 1 ⇔ n+2 ≥ 3 ≥ 0 donc n+2 ≥ 0
donc (n+1)(n+2) ≥ 0 et 2 > 0 donc 2/(n+1)(n+2) ≥ 0
donc Un+1 - Un ≥ 0 ⇒ la suite (Un) est croissante sur N*
Explications étape par étape :
