Réponse :
Bonsoir
Soit P(n) la propriété : uₙ = n/(n + 1)
Initialisation
u₀ = 0 et 0/(0 + 1) = 0
P(0) est donc vraie
Hérédité
Soit un certain n entier tel que uₙ = n/(n + 1)
On a par définition de (uₙ) : uₙ₊₁ = 1/(2 - uₙ)
⇔ uₙ₊₁ = 1/(2 - n/(n + 1)) (hypothèse de récurrence)
⇔ uₙ₊₁ = 1/((2n + 2 - n)/(n + 1))
⇔ uₙ₊₁ = 1/((n + 2)/(n + 1))
⇔ uₙ₊₁ = (n + 1)/(n + 2)
P(n + 1) est donc vraie.a propriété est héréditaire
Conclusion
La propriété P(n) est vraie au rang 0, et elle est héréditaire.Elle est donc vraie pour tout n entier
Donc quelque soit n entier naturel, on a uₙ = n/(n + 1)
