Réponse :
Explications étape par étape :
Bonsoir, voici une proposition de solution :
En premier lieu, il est évident que an > 0 car, si n >= 2, alors n-1 >= 1, et le dénominateur est strictement positif.
Ainsi, an > 0.
Ensuite, on procède par soustraction :
an - 1/n^2 = (-n^2 - 1) / (n^3 + 1) < 0, donc an < 1/n^2.
Puis, 1/(n-1) - 1/n = 1 / (n(n-1)) d'où :
(1 / n^2) - (1 / n(n-1)) = - 1 / (n^2*(n-1)) < 0.
Donc 1/n^2 < 1/(n-1) - 1/n, les inégalités successives sont démontrées.
Le plus difficile désormais, pour conclure quant à la convergence de An, plusieurs possibilités. Ici, la plus simple étant d'étudier son sens de variation :
An = Somme de k allant de 1 à n des ak
A(n+1) = Somme de k allant de 1 à n+1 des ak.
En retranchant A(n+1) et An, tu obtiens une somme télescopique, tous les termes disparaissent, sauf le 1er, et le dernier terme.
Ainsi : A(n+1) - An = an - a1 = an > 0 car a1 = 0.
Par conséquent, An converge.
Ensuite, par les inégalités successives, en faisant la somme de chaque côté, An < Somme des k allant de 2 à n des 1/k^2 (somme de Riemann qui vaut pi^2 / 6) < Somme des 1/(k-1) - 1/k.
La dernière somme est aussi télescopique, le résultera sera 1 - 1/(n-1) < 1.
Ici, 0 <= 1 - 1/(n-1) < 1. On peut donc choisir 1 comme majorant de An.
Conclusion : An est croissante, majorée par 1, donc en vertu du théorème de convergence monotone, elle ne peut que converger.
De surcroît, on aurait pu s'arrêter au pi^2 / 6, mais cette somme est "culturelle", et difficile à démontrer. Le but étant ici de tout démontrer.
Pour la dernière inégalité, autant être paresseux. Il est évident que A >= An, par croissance de la suite An. Ainsi, 0 <= A - An.
Ensuite, plusieurs possibilités. La plus simple étant la récurrence, que tu peux aisément réussir.
Bonne soirée
