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Bonjour j'espère que vous allez bien est-ce que une personne qui serait disponible pour m'aider à faire un exercice en maths que je devrais rendre avant 1h voilà merci beaucoup à la personne qui va m'aider car je ne comprends pas trop comment effectuer cet exercice merci beaucoup en avance

Bonjour Jespère Que Vous Allez Bien Estce Que Une Personne Qui Serait Disponible Pour Maider À Faire Un Exercice En Maths Que Je Devrais Rendre Avant 1h Voilà M class=

Sagot :

Svant

Réponse :

1) Etudions le signe de [tex]I_{n+1}-I_n[/tex]

[tex]I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^{n+1}} } \, dx -\int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^{n}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {(\frac{e^x}{(1+x)^{n+1}}-\frac{e^x}{(1+x)^{n}} }) } \, dx \\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{e^x-e^x(1+x)}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=\int\limits^1_0 {\frac{-xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\I_{n+1}-I_n=-\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx\\[/tex]

On a pour tout x de [0;1] :

[tex]xe^{x}>0\\(1+x)^{n+1}>0\\[/tex]

Donc [tex]\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}}>0[/tex] et par positivité de l'intégrale : [tex]\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx >0\\[/tex]

d'où [tex]-\int\limits^1_0 {\frac{xe^{x}}{(1+x)^{n+1}} } \, dx < 0\\[/tex]

Ansi [tex]I_{n+1}-I_n < 0[/tex]

La suite (In) est décroissante.

De plus [tex]\frac{e^x}{(1+x)^n} >0[/tex] et est continue sur [0; 1]

Donc [tex]I_n > 0[/tex] par positivité de l'intégrale

La suite(Iₙ) est décroissante et est minorée par 0 donc la suite (Iₙ) converge.

2)

[tex]0\leq x\leq 1\\1\leq e^x\leq e\\[/tex]

et (1+x)ⁿ > 0 sur [0;1]

[tex]\frac{1}{(1+x)^n} \leq \frac{e^x}{(1+x)^n} \leq \frac{e}{(1+x)^n}[/tex]

Par conservation de l'ordre de l'intégrale on a :

[tex]\int\limits^1_0 {\frac{1}{(1+x)^n}} \, dx \leq \int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^n}} \, dx \leq \int\limits^1_0 {\frac{e}{(1+x)^n}} \, dx \\[/tex]

[tex][\frac{1}{-n+1}\times\frac{1}{(1+x)^{n-1}}]_0^1 \leq \int\limits^1_0 {\frac{e^x}{(1+x)^n}} \, dx \leq [\frac{e}{-n+1}\times\frac{1}{(1+x)^{n-1}}]_0^1 \\[/tex]

[tex]\frac{1}{-n+1}\times\frac{1}{2^{n-1}}-(\frac{1}{-n+1}\times 1) \leq I_n\leq \frac{e}{-n+1}\times\frac{1}{2^{n-1}}-(\frac{e}{-n+1}\times 1) \\\\-\frac{1}{n-1}\times(\frac{1}{2^{n-1}}-1) \leq I_n\leq -\frac{e}{n-1}\times(\frac{1}{2^{n-1}}-1)\\\\\frac{1}{n-1}\times(1-\frac{1}{2^{n-1}}) \leq I_n\leq \frac{e}{n-1}\times(1-\frac{1}{2^{n-1}})\\[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n-1} =0[/tex]   et  [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n-1} =0[/tex]

[tex]\lim_{n \to +\infty} (\frac{1}{2} )^{n-1}=0\\\lim_{n \to +\infty} (1 -(\frac{1}{2} )^{n-1})=1\\[/tex]

par produit des limites  [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n-1}(1-\frac{1}{2^{n-1}})=0[/tex]  et  [tex]\lim_{n \to +\infty} \frac{e}{n-1}(1-\frac{1}{2^{n-1}})=0[/tex]

Donc d'après le théorème des gendarmes

[tex]\lim_{n \to +\infty} I_n =0[/tex]

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