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Bonjour j'ai un probleme avec cet exerice : On considère une fonction f définie pour tout nombre x par f(x) = (x-1)² - 3 1) Calculer l’image de 0 et de 2par f 2) Montrer que rechercher les antécédents par f de 13 revient à résoudre l’équation (x-1)² - 16 =0* 3) Montrer que pour tout nombre x on a (x-1)² - 16 = (x -5 ) (x +3) 4) En déduire les antécédents de 13 par f Merci

Sagot :

esturova

Bonjour !

1) Nous devons calculer l'image de 0 et de 2 par f. Nous devons donc remplacer x dans l'expression algébrique de f par 0 puis 2.

f(0) = (0 - 1)² - 3

f(0) = (-1)² - 3

f(0) = 1 - 3

f(0) = -2

f(2) = (2 - 1)² - 3

f(2) = (1)² - 3

f(2) = 1 - 3

f(2) = -2

L'image de 0 par f est (-2) et l'image de 2 par f est (-2).

2) Rechercher les antécédents par f de 13, revient à chercher les valeurs de x pour lesquelles l'expression algébrique de f est égale à 13.

f(x) = 13

(x - 1)² - 3 = 13

(x - 1)² - 3 - 13 = 13 - 13

(x - 1)² - 16 = 0

3) Nous allons utiliser l'identité remarquable (a - b)(a + b) = a² - b² pour montrer ceci.

(x - 1)² - 16

= (x - 1)² - 4²

= (x - 1 - 4) (x - 1 + 4)

= (x - 5) (x + 3)

4) Nous savons que (x - 1)² -16 = 0 et comme (x - 1)² - 16 = (x - 5)(x + 3), alors (x - 5)(x + 3) = 0.

Ainsi, nous pouvons en déduire que les antécents de 13 par f sont les solutions de l'équation de produit nul (x - 5)(x + 3) = 0

(x - 5)(x + 3) = 0 si et seulement si

x - 5 = 0 ou x + 3 = 0

x = 5 ou x = (-3)

Les antécédents de 13 par f sont 5 et (-3).

J'espère t'avoir aidé. Bon courage !

jpmorin3

bjr

f(x) = (x - 1)² - 3

1)

f(0) : on remplace x par 0 dans (x- 1)² - 3

f(0) = (0 - 1)² - 3 = (-1)² - 3 = 1 - 3 = -2

f(0) = -2

f(2) : on remplace x par 2

f(2) = (2 - 1)² - 3 = 1² - 3 = -2

f(2) = -2

2)

f(x) = (x - 1)² - 3

         f  :             x           →         (x - 1)² - 3

                  antécédent                image

                          ?             →              13

chercher les antécédents de 13 c'est chercher les nombres qui ont pour image 13

c'est à dire les nombres pour lesquels  (x - 1)² - 3 est égal à 13

(x - 1)² - 3 = 13  (1)  est une équation que l'on doit résoudre

(1) <=>   (x - 1)² - 3 - 13 = 0

             (x - 1)² - 16 = 0

3)

résolution

 (x - 1)² - 16 = 0      

 (x - 1)² - 4² = 0   (    différence de deux carrés, on factorise

                                      a² - b² = (a - b)(a + b)   )

(x - 1 - 4)(x - 1 + 4) = 0

(x - 5)(x + 3) = 0

on termine en remarquant que l'on a une équation produit nul

(x - 5)(x + 3) = 0   si et seulement

                      si   (x - 5) = 0    ou si    (x + 3) = 0

                                x = 5       ou            x = -3

13 a deux antécédents qui sont -3 et 5

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