Explications étape par étape:
Bonsoir, questions classiques qui reviendront souvent :
1- La dérivée de 9x vaut 9, la dérivée de 1/x vaut - 1/x^2. Ainsi, on obtient par somme :
f'(x) = 9 - (16/x^2).
De même, la dérivée de x^2 vaut 2x, celle de 6x vaut x, celle de 8 vaut 0 (la dérivée d'une constante est toujours nulle). Au dénominateur, la dérivée de 3x - 1 vaut 3.
On sait que (u/v)' = (u'v - uv') / v^2 (dérivée d'un quotient). On pose u = x^2 - 6x + 8, alors u' = 2x - 6 et v = 3x - 1 alors v' = 3.
Ainsi : g'(x) = [(2x-6)(3x-1) - 3(x^2 - 6x + 8)] / (3x - 1)^2 = [6x^2 - 2x - 18x + 6 - 3x^2 + 18x - 24] / (3x - 1)^2 = [3x^2 - 2x - 18] / (3x-1)^2 en développant.
2-Il faut commencer par établir le domaine de définition de chaque fonction. f est définie pour tout réel x different de 0, g est définie pour tout réel x different de 1/3.
On transforme f' en mettant au même dénominateur :
f'(x) = (9x^2 - 16) / x^2 = (3x - 4)(3x + 4) / x^2. (identité remarquable a^2 - b^2).
Il s'agit d'un trinôme du 2nd degré, dont le coefficient devant x^2 vaut 9, ainsi, f'(x) est positive à l'extérieur des racines, et négatif à l'intérieur.
Les racines sont : 3x - 4 = 0 qui donne x = 4/3 et 3x + 4 = 0 qui donne x = - 4/3.
Le signe du dénominateur étant strictement positif, il est facultatif de l'étudier.
Conclusion : f'(x) >= 0 si x appartient à ]-infini ; -4/3] U [4/3 ; +infini[, f'(x) <= 0 si x appartient à [-4/3 ; 4/3].
Pour g, le dénominateur est strictement positif, on ne s'occupe donc que du numérateur, qui est un trinôme du 2nd degré.
Discriminant : D = 36 - 32 = 4 > 0.
2 solutions : x1 = (6 - 2) / 2 = 2 et x2 = (6 + 2) / 2 = 4.
Identiquement au raisonnement précédent, on conclut que :
g'(x) >= 0 sur ]-infini ; 2] U [4; + infini[ et g'(x) <= 0 sur [2 ; 4].
Tu pourras donc construire tes tableaux de signe, sans oublier d'exclure les valeurs qui annulent les dénominateurs.
3- Si le signe de la dérivée est positif, la fonction est croissante, et inversement.
Ici, f est croissante sur ]-infini ; -4/3], puis décroissante de [-4/3 ; 4/3] et croissante sur [4/3 ; +infini[.
Pour g aussi, g est croissante sur ]-infini ; 2], décroissante sur [2 ; 4], puis croissante sur [4 ; + infini[.
4- Ici, on applique la formule traditionnelle :
y = f'(a)(x-a) + f(a) représente l'équation de la tangente au point d'abscisse a.
Ainsi, pour f : y = f'(1)(x-1) + f(1) = -7(x-1) + 25 = - 7x + 32.
Pour g : y = g'(1)(x-1) + g(1) = (-17/4)(x-1) + (3/2) = -(17/4)x + (17/4) + (3/2) = -(17/4)x + 23/4.
