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Bonjour, pouvez-vous m'éclairer sur ça:

Nous sommes dans R pour x<0 on a x^(π)=exp(π(ln(x)).

x^(π) est définie pour tout x>=0 et exp(π(ln(x)) pour x>0. On me demande donc le domaine de définition de x^(π), Or le corrigé me dit que c'est R+*.

De même si j'ai x^2=exp(2(ln(x)). la fonction au carré est définie sur R mais pas la fonction f : x -> exp(2(ln(x)). Le domaine de définition de la fonction carré est donc R mais pas R+*. J'aimerais donc savoir la différence des deux propositions précedentes. Merci d'avance.

Sagot :

broucealways

Explications étape par étape:

Bonsoir, comme on l'a vu hier soir, il faut bien saisir une chose, ton égalité est valable, si et seulement x € R+*, sinon, ln(x) ne serait pas définie.

En revanche, si x tend vers 0, alors exp(pi*ln(x)) tend vers 0, par composition. Tu pourras donc prolonger par continuité.

Ainsi, tu peux "tricher", tu poses pour tout x € R+*, que f(x) = x^pi = exp(pi*ln(x)).

Si x = 0, que f(0) = 0.

Tu auras parfaitement défini ta fonction, elle sera aussi continue en 0, par prolongement (si la limite existe, et finie, alors il y a possibilité de prolonger).

Pour la fonction x^2, souci de bijection. Tu ne peux pas écrire comme ça que x^2 = exp(2*ln(x)). Dis-toi bien que, pour composer ln et exp, il faut nécessairement, par souci de bijectivité, que x € R+*.

Effectivement, x^2 est définie sur R, MAIS, égalité fausse pour x <= 0, donc impossible d'écrire x^2 = exp(2*ln(x)) si x n'appartient pas à R+*. Sinon, tu peux mettre R comme domaine de définition pour x^2, mais supprimer l'égalité.

Identiquement, lim exp(2*ln(x)) = 0 en 0.

Ainsi, 3 possibilités en conclusion :

Si x € R, alors f(x) = x^2.

Si x € R+*, alors f(x) = x^2 = exp(2*ln(x)).

Si x = 0, comme la limite vaut 0, en posant f(0) = 0, ta fonction sera continue par prolongement en 0.

Bonne soirée à toi, n'hésite pas si tu as des questions !

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