Explications étape par étape:
Bonsoir, arithmétique des polynômes, plus rare mais ça peut tout aussi bien arriver.
4- Soit P, un polynôme de degré 3, alors il existe 4 réels a, b, c et d, tels que :
P(X) = aX^3 + bX^2 + cX + d.
P divisible par X+1 équivaut à -1 racine de P, autrement dit, P(-1) = -a + b - c + d = 0.
P'(X) = 3aX^2 + 2bX + c et P''(X) = 6aX + 2b.
P' divisible par (X-1)^2 équivaut à 1 racine double de P'. Autrement dit, 1 simultanément racine de P', et P''.
Donc P'(1) = P''(1) = 0.
P'(1) = 0 fournit 3a + 2b + c = 0.
P''(1) = 0 fournit 6a + 2b = 0.
Système de 3 équations à 4 inconnues, qu'on va résoudre :
2b = -6a d'où b = - 3a.
Ainsi : 3a + 2b + c = 3a - 6a + c = - 3a + c = 0, donc c = 3a.
Ensuite : - a + b - c + d = - a - 3a - 3a + d = 0 d'où d = 7a.
Conclusion : L'ensemble des polynômes P vérifiant la condition est :
P(X) = aX^3 - 3aX^2 + 3aX + 7a = a*(X^3 - 3X^2 + 3X + 7), avec a un réel.
5- En premier lieu, on peut factoriser sur R[X] le polynôme X^8 - 1 :
X^8 - 1 = (X^4 - 1)(X^4 + 1) = (X^2 - 1)(X^2 + 1)(X^4 + 1).
Pour obtenir Q(X), il faut élever toute cette expression au carré, ce qui permet d'obtenir :
Q(X) = (X^2 - 1)^2 * (X^2 + 1)^2 * (X^4 + 1)^2.
= (X^2 - 1)*(X - 1)* (X + 1)* (X^2 + 1)^2 * (X^4 + 1)^2.
P et Q ont ainsi 2 facteurs communs, X^2 - 1, ainsi que X - 1.
On peut ainsi écrire que :
PGCD(P, Q) = (X - 1)*(X^2 - 1)* PGCD(X^3 - 1 ; (X+1)*(X^2 + 1)^2 * (X^4 + 1)^2).
Or, X^2 + 1 et X^4 + 1 sont irréductibles dans R[X]. Néanmoins, X+1 possède uniquement -1 comme racine, et non X^3 - 1.
De même, en factorisant X^3 - 1 dans R[X], l'on obtient pas une configuration optimale pour le PGCD.
Ce dernier PGCD vaut donc 1.
On peut alors conclure que, le PGCD de P et Q vaut (X-1)(X^2 - 1) = (X+1)*(X-1)^2 dans R[X], y compris sur C[X] (en vérifiant les racines, on pourra s'en apercevoir).
