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Bonjour :))
On considère, dans un repère orthonormé, les points A(-2; -4), B(10; 2), C(8; 6) et D(-4; 0).
1. Montrons que [AB] \\ et = [CD] :
[tex]\overrightarrow{AB} = (10-(-2); 2-(-4)) \ donc \ \overrightarrow{AB} = (12; 6)\\\\\overrightarrow{CD} = (-4-8; 0-6) \ donc \ \overrihgtarrow{CD} = (-12; -6)\\\\Calculons \ le \ d\'eterminant \ pour \ prouver \ la \ colin\'earit\'e :\\12*(-6)-(-12)*6=-72-(-72)=-72+72=0\\\\\overrightarrow{AB} \ et \ \overrightarrow{CD}\ sont \ colin\'eaires. \ Par \ cons\'equent, ils \ sont \ parall\`eles.\\\\V\'erifions \ leur \ longueur :[AB] = \sqrt{12^{2}+6^{2}} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}\\\\[/tex]
[tex][CD] = \sqrt{(-12)^{2}+(-6)^{2}} = \sqrt{144+36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}[/tex]
CONCLUSION : ABCD est un parallélogramme.
2. a)Longueurs AC et BD
[tex]\overrightarrow{AC} = (8-(-2); 6-(-4))=(10;10)\\\overrightarrow{BD} = (-4-10; 0-2) = (-14; -2)\\\\Longueurs \ de \ [AC] \ et \ [BD] :\\\\[AC] = \sqrt{10^{2}+10^{2}} = \sqrt{200} = \sqrt{2*4*25} = 10\sqrt{2}\\\\[BD] = \sqrt{(-14)^{2}+(-2)^{2}} = \sqrt{196+4}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\\\\Les \ longueurs [AC] \ et [BD] \ sont \ les \ m\^emes.[/tex]
b.) Nature de ABCD
On en déduit que ABCD est un parallélogramme rectangle.
3). Coordonnées du point d'intersection des diagonales
[tex]Les \ diagonales \ sont \ [AC] \ et \ [BD].\\\\Point \ milieu \ de \ [AC] : (\frac{-2+8}{2} ; \frac{-4+6}{2}) = (3; 1)\\Point \ milieu \ de \ [BD] : (\frac{10+(-4)}{2} ; \frac{2+0}{2}) = (3; 1)[/tex]
Je te souhaite une bonne continuation :))
Bonne soirée ;)
