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Bonjour !
(J'ai une petite question : l'énoncé dit : ne doit avoir ses 2 coordonnées entières. Mais du coup est-ce que X(2 : 2.5) ça passe comme milieu ? je vais partir du principe que oui).
Enfin bon : comment calculer le mileu de deux points A et B ?
SI M est mileu de [AB], alors :
Xm = (Xa + Xb) / 2
Ym = (Ya + Yb) / 2
En quoi ça peut nous aider ?
Et bien, on sait que les coordonnées de A et B sont entières.
Que ce passe-t-il si par exemple Xa et Xb sont des nombres pairs ?
et bien leur somme, (Xa + Xb), sera paire. Donc quand on va la diviser par 2, le résultat sera entier. Donc Xm = (Xa + Xb) / 2 = un nombre entier.
Pareil si Xa et Xb sont impairs : la somme de deux entiers impairs est paire.
Même raisonnement pour les ordonnées, si Ya et Yb sont tous les deux pairs ou impairs, alors leur somme sera paire.
Mais nous on veut pas que ces résultats soient entiers !
Donc : Soient deux points A et B. Pour que le milieu M de [AB] n'ait pas ses deux coordonnées entières, il faut que :
- une des abscisses de A et B soit paire et l'autre impaire.
OU
- une des ordonnées de A et B soit paire et l'autre impaire.
(En effet : la somme d'un nombre pair et impair est impaire.)
On en déduit donc que l'on ne peut pas avoir de point A qui ait, par exemple, x pair et y impair, puis un point B qui ait lui aussi x pair et y impair.
Donc au final, combien on peut mettre de points au maximum comme ça ?
On va déjà en mettre un : A(pair ; pair).
Ensuite, selon la règle qu'on a déduit juste avant, on met un deuxième point : B(pair ; impair) par exemple. Remarque que l'on n'a pas le droit de mettre un point B(pair, pair), car il va faire un milieu "entier" avec A.
Troisième point : on ne peut pas mettre C(pair, pair), ni C(pair, impair).
On va donc mettre C(impair, pair).
Quatrième point : il ne reste plus qu'une combinaison possible :
D(impair, impair).
Peut importe les coordonnées du cinquième point que l'on va mettre, il va faire un milieu "entier" avec A,B,C ou D.
Peut importe également le choix du pair/impair que l'on fait pour les points : il n'y a que 4 combinaisons différentes, on finit par toutes les énumérer au final.
Claude ne pourra donc placer que 4 points au maximum.
