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199 Tangentes et parabole

Le plan est rapporté à un repère orthonormé (0;i;j). On considère dans ce repère la parabole P d'équation y= -1/2 x2 + x-1

1. Représenter cette parabole dans le repère.

2. Déterminer une équation de la tangente à cette parabole
au point d'abscisse x=0 et tracer cette droite.

3. Montrer qu'il existe un point de la courbe P où la tangente a pour coefficient directeur 7/2.
Tracer cette droite.

4. Soit a un nombre réel. Déterminer en fonction de a une
équation de la tangente à P au point A d'abscisse a. En
déduire les équations des tangentes à P passant par B(0; 1).
J'aurais besoin de votre aide svp.​

Sagot :

Réponse :

salut

y= (-1/2)x²+x+1

la dérivée

y'= -x+1

1) /

2) tangente au point d'abscisse 0

y(0)= -1     et y'(0)= 1    

( formule y'(a)(x-a)+y(a))

= > 1(x-0)-1

= x-1

la tangente au point d'abscisse 0 est y= x-1

3) pour répondre à la question il faut faire y'(x)=7/2

-x+1=7/2

-x= -5/2

la tangente à pour coefficient directeur 7/2 au point d'abscisse -5/2

tangente au point d'abscisse -5/2

y(-5/2)= -53/8    et y'(-5/2)= 7/2

(7/2)(x+5/2)-53/8

= (7/2)x+(17/8)

la tangente au point d'abscisse -5/2 est y= (7/2)x+17/8

4) tangente au point d'abscisse a

y'(a)(x-a)+f(a)

= (-a+1)(x-a)-(1/2)a²+a-1

= -ax+x+(a²/2)-1

= (-a+1)x+(a²/2)-1

tangentes à P passant par B(0,1)

1= y'(a)(0-a)+y(a)

1= (-a+1)(0-a)-(1/2)a²+a-1

1= (a²/2)-1

= (1/2)a²-2

on résout

(1/2)a²-2=0

delta>0 2 solutions x1= -2 et x2=2

la courbe possède 2 tangentes passant par le point B

tangente au point d'abscisse -2

y(-2)= -5  et y'(-2)=3

3(x+2)-5

= 3x+1

la tangente au point d'abscisse -2 et y= 3x+1

tangente au point d'abscisse 2

y(2)=-1   et y'(2)=-1

-1(x-2)-1

= -x+1

la tangente au point d'abscisse 2 est y=-x+1        

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