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Bonjour j’ai un DM de maths et je bloque sur un exercice le voici :


Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1-x²et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.


A est un point de Cf d'abscisse ª telle que 0⩽ª⩽1.

La tangente à Cf au point A coupe l'axe des abscisses en N et l'axe des ordonnées en M.


Quelle doit être la valeur de ª afin que l'aire du triangle OMN soit minimale ?


Voilà je ne sais pas du tout comment procéder pour trouver le résultat j’ai penser à calculer la dérivée de la fonction et faire le tableau de variation mais voila tout car on ne l’a jamais fait en cours. Si quelqu’un pourrait m’aider svp.

Bonjour Jai Un DM De Maths Et Je Bloque Sur Un Exercice Le Voici Soit F La Fonction Définie Sur R Par Fx1xet Cf Sa Courbe Représentative Dans Un Repère Du PlanA class=

Sagot :

Tenurf

Bjr

On va déjà commencer par trouver l'équation de la tangente à Cf au point A qui a pour coordonnées a et

[tex]f(a)=1-a^2[/tex]

f est dérivable et pour tout x réel

[tex]f'(x)=-2x[/tex]

donc l 'équation de la tangente à Cf en A est

[tex]y-f(a)=f'(a)(x-a)\\\\y-1+a^2=-2a(x-a)=-2ax+2a^2\\\\\iff y = -2ax+2a^2+1-a^2\\\\\iff y = -2ax +a^2+1[/tex]

du coup, le point N a pour coordonnées [tex]x_N[/tex] tel que

[tex]-2ax_N+a^2+1=0\\\\x_N=\dfrac{1+a^2}{2a}[/tex]

Le point M a pour coordonnées 0 et [tex]y_M[/tex]

[tex]y_M=-2a\times 0 + 1 + a^2=1+a^2[/tex]

LE triangle OMN est rectangle donc son aire est

[tex]\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1+a^2}{2a}\times 1+a^2=\dfrac{(1+a^2)^2}{4a}[/tex]

Donc maintenant on peut poser la fonction g telle que pout tout a réel >0

[tex]g(a)=\dfrac{(1+a^2)^2}{a}[/tex]

Etudier cette fonction et trouver pour quelle valeur de a elle est minimale.

g est dérivable et pour tout a > 0

[tex]g'(a)=\dfrac{2(1+a^2)\times 2a\times a -(1+a^2)^2}{a^2}\\\\=\dfrac{(1+a^2)(3a^2-1)}{a^2}\\\\g'(a)=0 \iff 3a^2=1 \iff a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex]

le signe de g' donne  que g est décroissante de

[tex]\left ]0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right ][/tex]

et croissante ensuite

donc le minimum est atteint en

[tex]a=\dfrac1{\sqrt{3}}[/tex]

Merci

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