Réponse :
3.b Montrer que Cf admet une tangente strictement parallèle à T(A) on notera cette tangente T(B)
tout d'abord il faut chercher f '(3) de la tangente T(A)
la dérivée de la fonction f est f '(x) = - 3 x² - 6 x + 24
donc f '(3) = - 3*3² - 6*3 + 24 = - 27 - 18 + 24 = - 21
la tangente T(B) a pour équation y = f(a) + f '(a)(x - a)
or T(B) // T(A) ce qui équivaut f '(a) = f '(3) = - 21
⇔ f '(a) = - 3 a² - 6 a + 24 = - 21 ⇔ - 3 a² - 6 a + 45 = 0
Δ = 36 + 540 = 576 > 0 ⇒ deux racines distinctes a1 et a2
√576 = 24
a1 = 6+24)/-6 = - 5
a2 = 6-24)/-6 = 3 or cette valeur est l'abscisse de T(A) au point A
donc la tangente T(B) à la courbe Cf est au point d'abscisse - 5
donc f '(- 5) = - 21
et f(-5) = - (-5)³ - 3*(-5)² + 24*(-5) + 2
= 125 - 75 - 120 + 2 = - 68
donc y = - 68 - 21(x + 5) = - 21 x - 173
4.a déterminer l'équation réduite de la tangente T(C) à Cf au point C d'abscisse - 1
f '(-1) = - 3*(-1)² - 6*(-1) + 24 = - 3 + 6 + 24 = 27
f(-1) = -(-1)³ - 3(-1)² + 24(-1) + 2 = 1 - 3 - 24 + 2 = - 24
donc y = - 24 + 27(x + 1) = 27 x + 3
on note g(x) = 27 x + 3
a. Montrer que pour x ∈ I ; f(x) - g(x) = (- x - 1)³
f(x) - g(x) = - x³ - 3 x² + 24 x + 2 - 27 x - 3
f(x) - g(x) = - x³ - 3 x² - 3 x - 1
pour x = - 1 ⇒ f(-1) - g(-1) = 1 - 3 + 3 - 1 = 0
f(x) - g(x) = (x + 1)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x + a x² + b x + c
= a x³ + (a + b) x² + (b + c) x + c
a = - 1 et c = - 1
a + b = - 3 ⇒ b = - 3 - a = - 3 - (- 1) = - 2
b + c = - 3
donc f(x) - g(x) = (x + 1)(- x² - 2 x - 1)
= - (x + 1)(x² + 2 x + 1)
= - (x + 1)(x + 1)²
f(x) - g(x) = (- x - 1)(- x - 1)² = (- x - 1)³
b. Etudier le signe de f(x) - g(x)
f(x) - g(x) = (- x - 1)²(- x - 1) or (- x - 1)² ≥ 0
x - 6 - 1 4
- x - 1 + 0 -
d. En déduire la position relative de T(C) et Cf
sur l'intervalle [- 6 ; - 1] ⇒ f(x) - g(x) ≥ 0 donc la courbe Cf est au-dessus de la tangente T(C)
sur l'intervalle [- 1 ; 4] ⇒ f(x) - g(x) ≤ 0 donc la courbe Cf est en dessous de la tangente T(C)
Explications étape par étape
