Réponse :
Bonjour, je t'aider dans la résolution de cet exercice
Explications étape par étape
Soit la fonction: f ]0;+∞[⇒R
x⇒x^n(1-㏑(x))
1)a) Limite en 0:
On tombe sur une indétermination du type 0×∞. Cette indétermination peut être levée grâce au théorème des croissances comparées. La fonction x^n tends plus vite vers 0 que (1-ln(x)) vers +∞ donc on peut conclure que:
lim (x⇒0)fn(x)=0
Limite en +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} x^n=+\infty\\ \lim_{x \to +\infty} 1-ln(x)=-\infty[/tex]
On en déduit alors: [tex]\lim_{x \to +\infty} {x^n}*(1-ln(x))=-\infty[/tex]
b) On calcule d'abord la dérivée f'n(x), elle est du type uv donc la dérivée sera du type u'v+uv':
f'n(x)=n(x^(n-1))×(1-ln(x))+x^n×(-1/x)
f'n(x)=nx^(n-1)×(1-ln(x))-x^(n-1)
f'n(x)=x^(n-1)(n(1-ln(x))-1
On étudie maintenant le signe de la dérivée sur ]0;+∞[:
∀ nE N* et ∀ x∈ R*+, x^(n-1)>0 alors le signe de f'n(x) dépend de n(1-ln(x))-1.
n(1-ln(x))-1>0 si 1-ln(x)>1/n⇒ln(x)<1-1/n⇒x<exp(1-1/n) avec nEN* donc on en déduis que f'n(x)<0 si x∈]0-exp(1-1/n)[
donc fn(x) est croissante sur ]0; exp(1-1/n[
(n(1-ln(x)-1)<0 si x>exp(1-1/n) donc f'n(x)<0 si x∈]exp(1-1/n;+∞[
donc fn(x) est décroissante sur ]exp(1-1/n);+∞[
On en déduit alors le tableau de variations suivant:
-∞ exp(1-1/n) +∞
f'n(x) + 0 -
fn(x) ↑ f(exp(1-1/n)) ↓
2)a) Pour étudier ces positions, nous devons étudier le signe de fn+1(x)-fn(x):
fn+1(x)-fn(x)=x^(n+1)(1-ln(x))-x^n(1-ln(x))
fn+1(x)-fn(x)=x^n(1-ln(x))(x-1)
On va faire un tableau de signe:
0 1 e +∞
x^n+1 0 + + +
x-1 - 0 + +
1-ln(x) - - 0 +
fn+1(x)-fn(x) + 0 - 0 +
En lisant le tableau, Cn+1 est au dessus de Cn sur ]0;1[∪]e;+∞[ et Cn+1 est en dessous de Cn sur ]1;e[
b) Pour trouver ces points, nous devons calculer:
fn+1(x)-fn(x)=0
fn+1(x)=fn(x)
Sur le tableau du 2)a), on a 2 points un d'abscisse 1 et un d'abscisse e
On va pourvoir calculer l'ordonnée:
fn(1)=1^n(1-ln(1))=1(1)=1
fn(e)=e^n(1-ln(e))=e^n(1-1)=0
On a donc les 2 points (1;1) et (e;0) (voir pièce jointe)
c) Les tangentes à des courbes sont des droites dont l'équation est du type: y=f'n(a)(x-a)+fn(a)
en a=1:
y=f'(1)(x-1)+fn(1)
y=[1^(n-1)(n(1-ln(1))-1](x-1)+1^n(1-ln(1))
y=(n-1)(x-1)+1
en a=e:
y=f'(e)(x-e)+f(e)
y=[e^(n-1)(n(1-ln(e)-1)](x-e)+e^n(1-ln(e))
y=-e^(n-1)(x-e)
3)a)fn admet son maximum lorsque f'n s'annule donc:
f'n(x)=0 si x=1-1/n (voir 1)b))
fn'(1-1/n)=0
3) Là, je ne sais pas, je te la laisse
