Réponse :
Bonsoir je vais te donner un coup de main
Explications étape par étape
1) Si M appartient à la courbe représentative de f(x)=x² les coodonnées de M sont (x ; x²).
2) Tu as vu en 2de que le carré de la distance entre deux points est donnée par la formule
AM²=(xM-xA)²+(yM-yA)²
ce qui donne AM²=(x-1/2)²+(x²-5/4)²
on développe et en réduit
AM²=x²-x+1/4+x^4-(5/2)x²+15/16=x^4-(3/2)x²-x+29/16
3) AM²=f(x)=x^4-(3/2)x²-x+29/16 (réponse donnée dans l'énoncé)
a) dérivée f'(x)=4x³-3x-1 c'est la dérivée d'une fonction polynôme
b)on note que x=1 est une solution évidente de f('x)=0
f'(x)=(x-1)(ax²+bx+c) on te donne la factorisation de f'(x)=(x-1)(4x²+4x+1) si tu développes et réduis (x-1)(4x²+4x+1) tu vas retrouver f'(x)=4x³-3x-1.
c) signe de la dérivée
on resout f'(x)=0 puis on fait un tableau de signes
f'(x)=0 si x-1=0 solution x1=1
ou si 4x²+4x+1=0 c'est une identité remarquable (2x+1)² solution x2=-1/2
Tableau de signes de la dérivée et de variation de la fonction f(x)
x -oo -1/2 1 +oo
x-1 ..............- .......................................-...................0...........+..................
(2x+1)².............+.......................0..............+...............................+.............
f'(x)...................-........................0..............-.................0..............+.....................
f(x)...+oo..........décroi.............f(-1/2).........décroi.........f(1) .........croi............+oo
la distance est minimale pour x=1 et f(1)= 1-3/2-1+29/16= 5/16=aM²
et AM=(rac5)/4=0,56 ul environ.
