Réponse :
Soient f et g deux fonctions définies pour tout x appartient à R par:
f(x) = 4x - 6
et g(x) = -5x + 3
1. Etude de variation
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x -∞ 3/5 3/2 + ∞
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(4x - 6) - croissant - 0 + croissant +
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(-5x + 3) + Décroissant + 0 - Décroissant -
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2.
soit a ∈ [-1;2]
a.
f(a) = 4a - 6
d'une part la fonction f est croissante sur R donc a fortiori sur [-1;2]
d'autre part les valeurs de f au bornes sont:
f(-1) = 4*(-1) -6 = -10
f(2) = 4*(2) - 6 = 2
alors f(-1)< f(a) < f(2) <=> -10 < f(a) < 2
on a g(f(a)) = -5(f(a)) + 3 = -5(4a - 6) + 3
d'une part la fonction g est décroissante sur R donc a fortiori sur [-10;2]
d'autre part les valeurs de g au bornes sont:
g(f(-1)) = g(-10) = -5(-10) + 3 = 53
g(f(2) = g(2) = -5(2) + 3 = -10 + 3 = - 7
donc 53 > g(f(a)) > -7 sur [1;2]
b.
g(a) = -5a + 3
d'une part la fonction g est décroissante sur R donc a fortiori sur [-1;2]
d'autre part les valeurs de g au bornes sont:
g(-1) = -5*(-1) + 3 = 5 + 3 = 8
g(2) = -5*2 + 3 = -10 + 3 = -7
alors g(-1) > g(a) > g(2) <=> 8 > g(a) > - 7
on a f(g(a)) = 4(g(a)) - 6 = 4 (-5a + 3) - 6
d'une part la fonction f est croissante sur R donc a fortiori sur [-7;8]
d'autre part les valeurs de f au bornes sont:
f(g(-1)) = f(8) = 4*8 - 6 = 32 -6 = 26
f(g(2)) = f(-7)= 4*(-7) - 6 = -28 - 6 = -34
donc -34 < f(g(a)) < 26 sur [1;2]
j'espère avoir aidé
