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Bonjour !
1) 11 111 000 -> on le retourne pour plus de simplicité dans le calcul.
-> 000 111 11, ça nous fait :
0*2⁰ + 0*2¹ + 0*2² + 1*2³ + 1*2⁴ + 1*2⁵ + 1*2⁶ + 1*2⁷
= 0*1 + 0*2 + 0*4 + 1*8 + 1*16 + 1*32 + 1*64 + 1*128
= 0 + 0 + 0 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128
= 248
2)
a) Pour trouver l'écriture binaire de 13, il faut d'abord trouver la plus grande puissance de 2 inférieure à 13 : ici, c'est 2³, car 2³ = 8 donc 2³ < 13, et 2⁴ = 16 donc 2⁴ > 13 : 2³ < 13 < 2⁴.
Donc :
13 - 8 = 5. On a 13 = 8 + 5 = 1*2³ + 5.
On s'occupe du reste : est-ce que 5 contient 2³⁻¹, donc 2² ?
2² = 4, 4 < 5, donc oui. -> 5-4 = 1
Donc 13 = 1*2³ + 1*2² + 1
Est-ce que 1 contient 2²⁻¹, donc 2¹ ?
2¹ = 2, 2 > 1, donc non.
Donc 13 = 13 = 1*2³ + 1*2² * 0*2¹ + 1.
Enfin, on sait que 1 = 2⁰.
Donc 13 = 13 = 1*2³ + 1*2² * 0*2¹ + 1*2⁰.
Donc en binaire, 13 s'écrit 1101.
b)
pour 87 :
64 < 84 < 128, donc 2⁶ < 84 < 2⁷.
84 = 64 + 16 + 4 + 2 + 1, donc :
84 = 1*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰.
Donc en binaire, 84 s'écrit 1010111.
pour 106 :
64 < 106 < 128, donc 2⁶ < 84 < 2⁷.
106 = 64 + 32 + 8 + 2, donc :
106 = 1*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 0*2⁰.
Donc en binaire, 106 s'écrit 1101010.
3)
Le plus grand nombre que l'on peut écrire avec un octet est donc :
11111111 ->
1*2⁷ + 1*2⁶ + 1*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 255
