Bjr,
a.
Montrons que
[tex]P(z_0)=0\\ \\z_0=i\sqrt{2}\\ \\z_0^2=-2\\\\z_0^3=-2\sqrt{2}i\\\\P(z_0)=-2\sqrt{2}i+4+2\sqrt{2}i+2\sqrt{2}i-4-2\sqrt{2}i=0[/tex]
b.
Nous pouvons donc mettre en facteur
[tex](z-z_0)[/tex]
Et alors
[tex]P(z)=(z-i\sqrt{2})(z^2-2z +2)[/tex]
De manière détaillée, on peut chercher a b et c tels que
[tex]P(z)=(z-i\sqrt{2})(az^2+bz+c)[/tex]
Le terme en [tex]z^3[/tex] est 1 et aussi a donc a =1
Pour le terme constant c est forcément 2
Et ensuite pour le terme en [tex]z^2[/tex] ou en z le coefficient provient de deux termes, par exemple pour [tex]z^2[/tex] nous avons déjà [tex]-i\sqrt{2}[/tex] et il manque -2 donc b=-2
c.
[tex]\Delta=4-8=-4=(2i)^2 \\\\z_1=\dfrac{2+2i}{2}=1+i\\\\z_2=1-i[/tex]
Les solutions de l'équation P(z)=0 sont
[tex]i\sqrt{2}, 1+i, 1-i[/tex]
Merci
