Réponse:
soit P(n) : n(2n+1)(7n+1) = 6k
initialisation
n= 0
0(2×0+1)(7×0+1)=0
0 est multiple de 6
P(0) est vraie.
heredité
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel n. Montrons que (n+1)(2n+3)(7n+8) est multiple de 6
develeppons :
n(14n²+9n+1) = 6k
14n³ + 9n² + n = 6k
au rang n+1 on a :
(n+1)(2(n+1)+1)(7(n+1)+1) =
(n+1)(2n+3)(7n+8) =
(n+1)(14n² + 37n + 24) =
14n³+ 37n² + 24n + 14n² + 37n + 24 =
14n³ + 51n² + 61n + 24 =
14n³ + 9n² + n + (42n²+60n+24) =
6k + 6(7n²+10n+4) =
6( k + 7n² + 10n + 4) =
6k' avec k' entier naturel.
P(n+1) est vraie
Conclusion :
la propriété est vraie au rang 0 et est hereditaire donc elle est vraie pour tout entier naturel n.
