Explications étape par étape:
Bonjour, voici une proposition de solution :
2- On peut procéder avec des inégalités. On se servira du développement de (1 + 1/n)^3.
Soit n entier naturel supérieur ou égal à 3, alors, par décroissance de la fonction inverse :
0 < 1/n <= 1/3 et 0 < 3/n <= 1.
Ensuite : n >= 3 donc n^2 >= 9 par croissance de la fonction carrée, d'où 0 < 1/n^2 <= 1/9, et finalement 0 < 3/n^2 <= 1/3.
On procède identiquement pour n^3 :
n^3 >= 27 puis 0 < 1/n^3 <= 1/27.
Par somme : 0 < 1 + (3/n) + (3/n^2) + (1/n^3) <= 1 + 1 + (1/3) + (1/27) = 64/27.
Donc 0 < V(n+1) / Vn <= (64/27) * (1/e).
Ici, (64/27) * (1/e) <= 1 si et seulement si (1/e) <= 27/64, donc e >= 64/27 qui vaut environ 2,37.
Or, e qui représente la constante de neper vaut environ 2,718, la condition est donc remplie.
3- Par la question 1, on sait que V(n+1) / Vn > 0, et par la question précédente, V(n+1) / Vn <= 1, cela signifie que V(n+1) <= Vn, donc Vn décroissante. Puisqu'elle est décroissante, elle est forcément majorée par son terme d'indice le plus bas, autrement dit V3.
4- On conclut que n*Un <= V3 = 3*U3 d'où Un <= (3/n)*U3 = (3/n)*(3^2 / exp(3)) = 27 / (n*exp(3)). En + infini, ce quotient tend vers 0, mais Un ne peut pas être négatif, donc lim Un = 0 en + infini.
