Obtenez des conseils d'experts et des connaissances communautaires sur Zoofast.fr. Que votre question soit simple ou complexe, notre communauté est là pour fournir des réponses détaillées et fiables rapidement et efficacement.

Pouvez vous m’aider svp

Pouvez Vous Maider Svp class=

Sagot :

Réponse :

a)

On cherche à démontrer que (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

(1 + x)² = 1 + 2x + x²

(1 + x)³ = (1 + 2x + x²)* (1 + x) = ( 1 + 2x + x² + x + 2x² + x³ )

(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³

(1 + x)⁴ = (1 + 3x + 3x² + x³)* (1 + x) = 1 + 3x + 3x² + x³ + x + 3x² + 3x³ + x⁴

(1 + x)⁴ = 1 + 4x + 6x² + 4x³ + x⁴

Or (1 + x)ⁿ = (1 + x) * (1 + x) * ... * (1 + x) * (1 + x) avec n terme de (1 + x)

Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*xⁿ⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ + 1

Soit (1 + x)ⁿ = xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + n*x + 1

Soit démontrer que xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ... + nx + 1 ≥ 1 + nx

En simplifiant cela revient à démontrer que  xⁿ + n*xⁿ⁻¹ + ...  ≥ 0

Soit démontrer par simplification que xⁿ  ≥ 0

Ce qui est vrai pour tout n réel strictement positif

b) On utilise l'équation démontrée en a)

(1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Si x = 1, alors (1+1)ⁿ ≥ 1 + n*1

Soit 2ⁿ ≥ 1 + n

Si x = 2, alors (1+2)ⁿ ≥ 1 + n*2

Soit 3ⁿ ≥ 1 + 2n

Or (1 + 2n) > n

Soit 3ⁿ ≥ n

Si x = n, alors (1+n)ⁿ ≥ 1 + n*n

Soit (n+1)ⁿ ≥ 1 + n²

Explications étape par étape