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Bonjour j’ai un exo : Soit f la fonction définie sur I=]0;5] par : f(x)=4+16x+1/x.
1.calculer f’(x),puis montrer que pour tout réel x de I, f’(x)=16x au carré -1 / x au carré
2. Justifier que, pour tout réel x de I,f’(x) a le même signe que (4x-1)
3.Construire le tableau de variation de f sur ]0;5]
4.La fonction f admet-elle un extremum ? Si oui, préciser sa nature et sa valeur.

Sagot :

Réponse :

bonsoir  exercice avec une partie des reponses dans l'énoncé.

Explications étape par étape

f(x)=4+16x+1/x , l'expression est défine sur R*

on peut donc étudier f(x) sur I=]0; 5]

Pour dresser le tableau de variations  il nous faut les valeurs de f(x) aux bornes de I  =]0;5]

x ne peut pas être=0

si x tend vers0+, 16x tend vers0 et 1/x tend vers+oo donc f(x) tend vers+oo

si x=5  f(x)=4+80+1/5=84,2

Dérivée   f'(x)=16-1/x² ou f'(x)=(16x²-1)/x²=(4x-1)(4x+1)/x²

sur l'intervalle ]0; 5], (4x+1) est >0; x² est>0 le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de (4x-1)   f'(x)=0 si x=1/4

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      ]0                                         1/4                                    5

f'(x).......................-.............................0.........................+...................

f(x)  II +oo............Décroi..................f(1/4)................croi....................84,2

f(1/4)=12        II= asymptote vericale x=0

Sur I=]0;5] la fonction f(x) admet un minimum pour x=1/4  et f(1/4)=12

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