Bonjour,
1.a.
[tex]u_0=1\\ \\u_1=\dfrac{5u_0}{2u_0+5}=\dfrac{5}{2+5}=\dfrac{5}{7}\\ \\u_2=\dfrac{5u_1}{2u_1+5}=\dfrac{25}{7}\times \dfrac{7}{10+5*7}\\\\=\dfrac{25}{45}=\dfrac{5}{9} \\ \\u_3=\dfrac{5u_2}{2u_2+5}=\dfrac{25}{9}\times \dfrac{9}{10+5*9}=\dfrac{25}{55}=\dfrac{5}{11}[/tex]
b.
[tex]u_1-u_0=\dfrac{5}{7}-\dfrac{7}{7}=\dfrac{-2}{7} \\ \\u_2-u_1=\dfrac{5}{9}-\dfrac{5}{7}=\dfrac{5*7-5*9}{9*7} =-\dfrac{10}{63}[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-2u_n^2-5u_n}{2u_n+5}=-\dfrac{2u_n^2}{2u_n+5}[/tex]
En regardant les premiers termes nous constatons que la différence n'est pas constante donc la suite n'est pas une suite arithmétique.
c.
Nous avons admis que les termes de la suite u(n) sont tous strictement positifs donc différent de 0, la suite v(n) est donc bien définie.
[tex]\dfrac{1}{u_0}=1 \\ \\\dfrac{1}{u_1}=\dfrac{7}{5} \\ \\\dfrac{1}{u_2}=\dfrac{9}{5}\\ \\\dfrac{1}{u_3}=\dfrac{11}{5}[/tex]
Cela ressemble à une suite arithmétique de raison 2/5 et de premier terme 1
2.
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{2u_n+5}{5u_n}-\dfrac{1}{u_n}\\ \\v_{n+1}-v_{n}=\dfrac{2u_n+5-5}{5u_n}=\dfrac{2}{5}[/tex]
Donc il s'agit d'une suite arithmétique de raison 2/5
b.
Nous appliquons le cours sur les suites arithmétiques
[tex]v_n=1+\dfrac{2}{5}n[/tex]
donc
[tex]\forall n \in \mathbb{N} \\ \\u_n=\dfrac{1}{v_n}=\dfrac{1}{1+\dfrac{2n}{5}}=\dfrac{5}{2n+5}[/tex]
Merci
