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Bonjour,
J'imagine que tu as dans ton cours un théorème qui ressemble à ça
Soient a et b deux réels,
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] à valeurs dans R.
Si f(a)f(b) [tex]\leq[/tex] 0, alors f s’annule au moins une fois dans [a,b].
ici, f est une fonction continue sur [0,1]
f(0)=f(1)=0 et f(x) [tex]\geq[/tex] 0
Soit n un réel quelconque appartenant à ]0,1[
Définissons sur [0,1-n] la fonction [tex]g_n[/tex] par
[tex]g_n(x)=f(x+n)-f(x)[/tex]
Cette fonction est bien définie sur cet intervalle et g est continue comme somme de fonctions qui le sont.
Or
[tex]g_n(0)=f(n)-f(0)=f(n)\geq 0\\\\g_n(1-n)=f(1)-f(1-n)=-f(1-n)\leq 0 \\\\g_n(0)\times g_n(1-n)\leq 0[/tex]
Donc il existe (au moins) un réel [tex]x_n[/tex] dans [0,1-n] (qui est inclus dans [0,1]) tel que
[tex]g_n(x_n)=0=f(x_n+n)-f(x_n)<=>f(x_n+n)=f(x_n)[/tex]
merci
