Bonjour !
Exercice 1 :
A = (n+2) / (n+3)
B = (n+3) / (n+4)
n ∈ ℕ.
1)
n = 0 :
A = (n+2) / (n+3) = A = (0+2) / (0+3) = 2/3
B = (n+3) / (n+4) = (0+3) / (0+4) = 3/4
Sachant que :
A = 2/3 = (2*4)/(3*4) = 8/12
B = 3/4 = (3*3)/(3*4) = 9/12
Donc A < B, A = B-1/12.
n = 10 :
A = (n+2) / (n+3) = A = (10+2) / (10+3) = 12/13
B = (n+3) / (n+4) = (10+3) / (10+4) = 13/14
Sachant que :
A = 12/13 = (12*14) / (13*14) = 168/182
B = 13/14 = (13*13) / (14*13) = 169/182
Donc A < B, A = B-1/182
2)
A - B = (n+2)/(n+3) - (n+3)/(n+4)
= (n+2)(n+4) / (n+3)(n+4) - (n+3)(n+3) / (n+4)(n+3)
= [ (n+2)(n+4) - (n+3)(n+3) ] / (n+4)(n+3)
= [ (n² + 6n + 8) - (n² + 6n + 9) ] / (n² + 7n + 12)
= [ n² + 6n + 8 - n² - 6n - 9 ] / (n² + 7n + 12)
A = ( -1 ) / (n² + 7n + 12)
3)
Le résultat est négatif, donc A < B pour tout n.
Exercice 3 :
AB = 4 cm, AC = x+1 cm, BC = x-1 cm.
Question : qui est l'hypoténuse dans les trois côtés ?
Déjà, x-1 < x+1, Donc x-1 ne peut pas être l'hypoténuse.
Cas 1, l'hypoténuse est 4 :
Donc (x+1)² + (x-1)² = 4²
<=> x² + 2x + 1 + x² - 2x + 1 = 16
<=> 2x² + 2 = 16
<=> 2x² = 14
<=> x² = 7
<=> x = √(7) (pas -√(7) car on ne peut pas avoir de longueurs négatives. )
Cas 2, l'hypoténuse est x+1 :
Donc 4² + (x-1)² = (x+1)²
<=> (x+1)² - (x-1)² = 4²
<=> (x+1)² - (x-1)² = 16
<=> (x+1 + x-1)(x+1 -x+1) = 16
<=> (2x)(2) = 16
<=> 4x = 16
<=> x = 4
S = { √(7) ; 4 }
Voilà !
