Bonjour,
On fait l 'hypothèse qu il existe un nombre fini de nombre premier.
Notons n ce nombre.
Cela veut dire que [tex](p_i)_{1\leq i\leq n}[/tex] est l'ensemble de tous les nombres premiers.
1.
[tex]p_1=2\\ \\p_2=3 \\ \\p_3=5[/tex]
2. Du coup, on voit que n est supérieur ou égal à 3, car nous avons déjà trouvé 3 nombre premiers.
3.
a. Nous pouvons écrire que
[tex]N=p_1\times p_2 \times ...\times p_n+1 \\ \\<=> N-1=p_1\times p_2 \times ... \times p_n[/tex]
donc [tex]p_1[/tex] divise N-1 donc s'il divise N, il divise aussi N-(N-1)=1, ce qui n'est pas possible, donc [tex]p_1[/tex] ne divise pas N.
b.
De même, considérons que [tex]p_i[/tex] divise N alors il divise N-1 et N, il divise N-(N-1)=1 ce qui n'est pas possible.
Donc aucun [tex]p_i[/tex] ne divise N
c. Cela veut dire que N est un nombre premier
d. Du coup, il y a un problème, car N n'est aucun des [tex]p_i[/tex] et est un nombre premier. Il y a contradiction donc notre hypothèse du départ est fausse et l'ensemble des nombres premiers est infini.
Merci
